Seja a função f(x)=-x^{2}, para -1 \leq x \leq 1. Faça o que se pede.
Escreva uma lei para uma função que: comprima horizontalmente o gráfico de f por um fator multiplicativo \frac{1}{2}. Dê o domínio e a imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=-x^{2} com domínio -1 \le x \le 1. Pede-se:
  • Escrever uma lei para a função obtida ao comprimir horizontalmente o gráfico de f por um fator multiplicativo \tfrac{1}{2}.
  • Determinar o domínio dessa nova função.
  • Determinar a imagem (intervalo de valores de saída) dessa nova função.
  • Esboçar o gráfico da nova função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função original é \,f(x)=-x^{2}\, definida apenas para x em [-1,1].
  • O fator de compressão horizontal pedido é \tfrac{1}{2}.

Passo 2

O que significa "comprimir horizontalmente por um fator \tfrac{1}{2}"?
  • Horizontalmente significa atuar sobre a coordenada x (não sobre y).
  • Comprimir por um fator \tfrac{1}{2} significa que cada ponto (x,y) do gráfico original é levado para um ponto cuja abscissa é metade da original, isto é para \bigl(\tfrac{1}{2}x,\,y\bigr).
  • Se um ponto do gráfico original é (a,f(a)), o correspondente no gráfico comprimido será \bigl(\tfrac{1}{2}a,\,f(a)\bigr).

Passo 3

Como obter a lei g(x) da nova função a partir de f?
  • Denome a nova variável de abscissa por x. Um ponto (x,g(x)) do gráfico comprimido corresponde a (a,f(a)) do gráfico original com x=\tfrac{1}{2}a.
  • Da relação x=\tfrac{1}{2}a temos a=2x.
  • Assim g(x) deve ser f avaliada em a=2x. Ou seja:
g(x)=f(2x).
  • Agora substitui f(t)=-t^{2} com t=2x:
g(x)=-(2x)^{2}=-4x^{2}.
Portanto a lei da função comprimida é g(x)=-4x^{2} (com o domínio a determinar).

Passo 4

Determinar o domínio de g.
  • g(x) foi definida como g(x)=f(2x). Para que isso faça sentido, o argumento 2x deve pertencer ao domínio original de f, isto é devemos ter 2x\in[-1,1].
  • Resolver 2x\in[-1,1]
-1 \le 2x \le 1 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{1}{2} \le x \le \tfrac{1}{2}.
  • Logo o domínio de g é \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right].

Passo 5

Determinar a imagem (intervalo de valores) de g.
  • A função g(x)=-4x^{2} é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^{2} negativo).
  • Em \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right], o máximo ocorre em x=0 com valor
g(0) = -4(0)^{2}=0.
  • Os pontos finais do domínio são x=\pm\tfrac{1}{2}. Em cada um deles
g\!\left(\pm\tfrac{1}{2}\right) = -4\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = -4\cdot\tfrac{1}{4} = -1.
  • Como g é contínua no intervalo e simétrica, seus valores variam de -1 até 0. Portanto a imagem é \left[-1,0\right].

Passo 6

Verificação com pontos e comparação com f.
  • Pontos do gráfico original usados como referência: (-1,-1), (0,0), (1,-1).
  • Aplicando a compressão horizontal por \tfrac{1}{2} (cada abscissa multiplicada por \tfrac{1}{2}) obtemos pontos do novo gráfico: \bigl(-\tfrac{1}{2},-1\bigr), (0,0), \bigl(\tfrac{1}{2},-1\bigr).
  • Avaliando em g: g(0)=0, g(\pm\tfrac{1}{2})=-1. Confere com a lei g(x)=-4x^{2}.
  • Observação intuitiva: a parábola ficou “mais estreita” (mais íngreme) porque g(x)=-4x^{2} decresce mais rápido que f(x)=-x^{2}.

Passo 7

Como esboçar o gráfico (passo a passo):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o domínio do gráfico comprimido: x=-\tfrac{1}{2} e x=\tfrac{1}{2} são os limites; o gráfico existe somente entre essas abscissas.
  3. Plote os pontos-chave: \bigl(-\tfrac{1}{2},-1\bigr), (0,0), \bigl(\tfrac{1}{2},-1\bigr).
  4. Ligue esses pontos com uma curva parabólica voltada para baixo, simétrica em relação ao eixo y.
  5. Compare mentalmente com o gráfico de f: o novo gráfico está concentrado entre -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2} (enquanto o original ia de -1 a 1), e atinge a mesma altura máxima 0 e o mesmo mínimo -1 nos extremos do seu domínio.

Resposta

g(x)=f(2x)=-4x^{2} para -\tfrac{1}{2}\le x\le \tfrac{1}{2}
Domínio: \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right]
Imagem: \left[-1,0\right]

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