Seja a função
, para
. Faça o que se pede.
Escreva uma lei para uma função que: comprima horizontalmente o gráfico de
por um fator multiplicativo
. Dê o domínio e a imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico.
Escreva uma lei para uma função que: comprima horizontalmente o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio
. Pede-se:
- Escrever uma lei para a função obtida ao comprimir horizontalmente o gráfico de
por um fator multiplicativo . - Determinar o domínio dessa nova função.
- Determinar a imagem (intervalo de valores de saída) dessa nova função.
- Esboçar o gráfico da nova função.
Informações relevantes fornecidas:
- A função original é
definida apenas para em . - O fator de compressão horizontal pedido é
.
Passo 2
O que significa "comprimir horizontalmente por um fator
"?
- Horizontalmente significa atuar sobre a coordenada
(não sobre ). - Comprimir por um fator
significa que cada ponto do gráfico original é levado para um ponto cuja abscissa é metade da original, isto é para . - Se um ponto do gráfico original é
, o correspondente no gráfico comprimido será .
Passo 3
Como obter a lei
da nova função a partir de
?
- Denome a nova variável de abscissa por
. Um ponto do gráfico comprimido corresponde a do gráfico original com . - Da relação
temos . - Assim
deve ser avaliada em . Ou seja:
- Agora substitui
com :
Portanto a lei da função comprimida é
(com o domínio a determinar).
Passo 4
Determinar o domínio de
.
-
foi definida como . Para que isso faça sentido, o argumento deve pertencer ao domínio original de , isto é devemos ter . - Resolver
dá
- Logo o domínio de
é .
Passo 5
Determinar a imagem (intervalo de valores) de
.
- A função
é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de negativo). - Em
, o máximo ocorre em com valor
- Os pontos finais do domínio são
. Em cada um deles
- Como
é contínua no intervalo e simétrica, seus valores variam de até . Portanto a imagem é .
Passo 6
Verificação com pontos e comparação com
.
- Pontos do gráfico original usados como referência:
, , . - Aplicando a compressão horizontal por
(cada abscissa multiplicada por ) obtemos pontos do novo gráfico: , , . - Avaliando em
: , . Confere com a lei . - Observação intuitiva: a parábola ficou “mais estreita” (mais íngreme) porque
decresce mais rápido que .
Passo 7
Como esboçar o gráfico (passo a passo):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o domínio do gráfico comprimido:
e são os limites; o gráfico existe somente entre essas abscissas. - Plote os pontos-chave:
, , . - Ligue esses pontos com uma curva parabólica voltada para baixo, simétrica em relação ao eixo
. - Compare mentalmente com o gráfico de
: o novo gráfico está concentrado entre e (enquanto o original ia de a ), e atinge a mesma altura máxima e o mesmo mínimo nos extremos do seu domínio.
Resposta
Domínio:
Imagem: