Nos itens a seguir, escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso ela seja convergente, encontre o seu limite:
\left\{\frac{n}{c^{n}}\right\}, \quad c>1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Escrever os quatro primeiros termos da sequência \left\{\dfrac{n}{c^{n}}\right\} com c>1.
  • Determinar se a sequência é convergente ou divergente; se convergente, achar o limite.
As informações dadas que são relevantes:
  • A sequência é a_n=\dfrac{n}{c^{n}} para n=1,2,3,\dots.
  • O parâmetro c é um número fixo maior que 1 (isto é, c>1).

Passo 2

Vamos escrever explicitamente os quatro primeiros termos (tomando n=1,2,3,4):
a_1=\frac{1}{c},\qquad a_2=\frac{2}{c^{2}},\qquad a_3=\frac{3}{c^{3}},\qquad a_4=\frac{4}{c^{4}}.
Explicação rápida: basta substituir n por 1,2,3,4 na fórmula a_n=\dfrac{n}{c^n}.

Passo 3

Para estudar o comportamento quando n\to\infty é útil escrever
a_n=\frac{n}{c^{n}}=n\left(\frac{1}{c}\right)^{n}.
Defina q=\dfrac{1}{c}. Como c>1, tem-se 0<q<1. Assim podemos reescrever
a_n = n q^{n},\qquad\text{com }0<q<1.
Agora a questão reduz-se a estudar o limite de n q^{n} quando n\to\infty.

Passo 4

Mostrarei que \lim_{n\to\infty} n q^{n}=0 usando uma prova elementar baseada na razão entre termos consecutivos.
Calcule a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)q^{\,n+1}}{n q^{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)q.
Como n\to\infty, tem-se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q.
Lembrando que 0<q<1, escolha um número s tal que q<s<1. Pelo limite acima existe N tal que, para todo n\ge N,
\frac{a_{n+1}}{a_n}\le s.
Isso implica, por indução, que para todo k\ge 0
a_{N+k}\le a_N\, s^{k}.
Como 0<s<1, tem-se s^{k}\to 0 quando k\to\infty; portanto a_{N+k}\to 0. Logo a sequência a_n tende a 0 (porque os primeiros termos até a_{N-1} são finitos e os seguintes vão para zero).
Em palavras: a potência q^{n} (com 0<q<1) decai geometricamente e vence o fator linear n; assim n q^{n} tende a zero.

Passo 5

Conclusão: a sequência \left\{\dfrac{n}{c^{n}}\right\} é convergente e seu limite é 0. (Intuitivamente: c^{n} cresce exponencialmente e domina o crescimento linear de n.)

Resposta

\dfrac{1}{c},\\ \dfrac{2}{c^{2}},\\ \dfrac{3}{c^{3}},\\ \dfrac{4}{c^{4}}
Convergente, limite 0

Exercícios relacionados