Nos itens a seguir, escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso ela seja convergente, encontre o seu limite:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Escrever os quatro primeiros termos da sequência
com . - Determinar se a sequência é convergente ou divergente; se convergente, achar o limite.
As informações dadas que são relevantes:
- A sequência é
para . - O parâmetro
é um número fixo maior que (isto é, ).
Passo 2
Vamos escrever explicitamente os quatro primeiros termos (tomando
):
Explicação rápida: basta substituir
por
na fórmula
.
Passo 3
Para estudar o comportamento quando
é útil escrever
Defina
. Como
, tem-se
. Assim podemos reescrever
Agora a questão reduz-se a estudar o limite de
quando
.
Passo 4
Mostrarei que
usando uma prova elementar baseada na razão entre termos consecutivos.
Calcule a razão
Como
, tem-se
Lembrando que
, escolha um número
tal que
. Pelo limite acima existe
tal que, para todo
,
Isso implica, por indução, que para todo
Como
, tem-se
quando
; portanto
. Logo a sequência
tende a
(porque os primeiros termos até
são finitos e os seguintes vão para zero).
Em palavras: a potência
(com
) decai geometricamente e vence o fator linear
; assim
tende a zero.
Passo 5
Conclusão: a sequência
é convergente e seu limite é
. (Intuitivamente:
cresce exponencialmente e domina o crescimento linear de
.)
Resposta
Convergente, limite