Nos itens a seguir, use a relação
para determinar o valor exato da integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, usando a relação
, o valor exato da integral
Informações dadas e dados que vamos usar:
- O intervalo de integração é
e . - A função a integrar é
. - A largura de cada subintervalo na partição uniforme é
- O objetivo é computar o limite da soma de Riemann correspondente.
Passo 2
Vou construir explicitamente uma soma de Riemann conveniente. Para simplificar a soma e aproveitar a simetria do intervalo
, escolho como pontos de amostragem os pontos médios de cada subintervalo (isso é permitido: qualquer escolha de
em cada subintervalo dá o mesmo limite quando
é integrável). Denoto por
o ponto médio do
-ésimo subintervalo. Então, pelo enunciado,
Aqui vou explicar e usar explicitamente o que é
.
Passo 3
Definição dos pontos médios
. Os pontos da partição são
e o ponto médio do
-ésimo subintervalo
é
Substituindo
temos
Passo 4
Mostro a simetria dos pontos médios: o ponto médio do subintervalo número
é
Calculando
:
Agrupando termos, nota-se que
, então
Logo
Isto significa que os pontos médios aparecem em pares simétricos em relação a zero.
Passo 5
Agora escrevo a soma de Riemann em duas partes e uso a simetria:
Como
, temos
. Portanto, agrupando os termos da soma
em pares
, cada par contribui com
. Assim
Passo 6
Substituindo o resultado anterior na soma de Riemann:
Usando
obtemos
Finalmente, passando ao limite
(o valor é já independente de
):
Passo 7
Breve comentário didático final (para fixar a ideia): a parte
some porque
é função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero (cada contribuição positiva é cancelada por uma negativa). A parte
é simplesmente a área do retângulo de altura
e base
, que vale
. Isso confirma o resultado obtido pela soma de Riemann.