Nos itens a seguir, use a relação \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(c_{i}\right) \Delta x para determinar o valor exato da integral definida.
\int_{-2}^{2}\left(x^{3}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando a relação \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^{n} f(c_i)\,\Delta x, o valor exato da integral
\int_{-2}^{2}\bigl(x^{3}+1\bigr)\,dx.
Informações dadas e dados que vamos usar:
  • O intervalo de integração é \,a=-2 e \,b=2.
  • A função a integrar é \,f(x)=x^{3}+1.
  • A largura de cada subintervalo na partição uniforme é
\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{2-(-2)}{n}=\frac{4}{n}.
  • O objetivo é computar o limite da soma de Riemann correspondente.

Passo 2

Vou construir explicitamente uma soma de Riemann conveniente. Para simplificar a soma e aproveitar a simetria do intervalo [-2,2], escolho como pontos de amostragem os pontos médios de cada subintervalo (isso é permitido: qualquer escolha de c_i em cada subintervalo dá o mesmo limite quando f é integrável). Denoto por m_i o ponto médio do i-ésimo subintervalo. Então, pelo enunciado,
\int_{-2}^{2}\bigl(x^{3}+1\bigr)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\bigl(m_i^{3}+1\bigr)\,\Delta x.
Aqui vou explicar e usar explicitamente o que é m_i.

Passo 3

Definição dos pontos médios m_i. Os pontos da partição são
x_j=-2+j\Delta x,\qquad j=0,1,\dots,n,
e o ponto médio do i-ésimo subintervalo [x_{i-1},x_i] é
m_i=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}=-2+\bigl(i-\tfrac{1}{2}\bigr)\Delta x.
Substituindo \Delta x=\dfrac{4}{n} temos
m_i=-2+\bigl(i-\tfrac{1}{2}\bigr)\frac{4}{n}.

Passo 4

Mostro a simetria dos pontos médios: o ponto médio do subintervalo número n+1-i é
m_{n+1-i}=-2+\bigl(n+1-i-\tfrac{1}{2}\bigr)\frac{4}{n} =-2+\bigl(n+\tfrac{1}{2}-i\bigr)\frac{4}{n}.
Calculando m_i+m_{n+1-i}:
m_i+m_{n+1-i}=\Bigl(-2+\bigl(i-\tfrac{1}{2}\bigr)\frac{4}{n}\Bigr) +\Bigl(-2+\bigl(n+\tfrac{1}{2}-i\bigr)\frac{4}{n}\Bigr).
Agrupando termos, nota-se que \bigl(i-\tfrac{1}{2}\bigr)+\bigl(n+\tfrac{1}{2}-i\bigr)=n, então
m_i+m_{n+1-i}=-4+\frac{4n}{n}= -4+4=0.
Logo
m_{n+1-i}=-m_i.
Isto significa que os pontos médios aparecem em pares simétricos em relação a zero.

Passo 5

Agora escrevo a soma de Riemann em duas partes e uso a simetria:
\sum_{i=1}^{n}\bigl(m_i^{3}+1\bigr)\,\Delta x =\Delta x\sum_{i=1}^{n}m_i^{3}+\Delta x\sum_{i=1}^{n}1 =\Delta x\sum_{i=1}^{n}m_i^{3}+\Delta x\cdot n.
Como m_{n+1-i}=-m_i, temos m_{n+1-i}^{3}=(-m_i)^{3}=-m_i^{3}. Portanto, agrupando os termos da soma \sum_{i=1}^{n}m_i^{3} em pares (i,n+1-i), cada par contribui com m_i^{3}+m_{n+1-i}^{3}=m_i^{3}-m_i^{3}=0. Assim
\sum_{i=1}^{n}m_i^{3}=0.

Passo 6

Substituindo o resultado anterior na soma de Riemann:
\sum_{i=1}^{n}\bigl(m_i^{3}+1\bigr)\,\Delta x=\Delta x\cdot 0+\Delta x\cdot n=\Delta x\,n.
Usando \Delta x=\dfrac{4}{n} obtemos
\sum_{i=1}^{n}\bigl(m_i^{3}+1\bigr)\,\Delta x=\frac{4}{n}\cdot n=4.
Finalmente, passando ao limite n\to\infty (o valor é já independente de n):
\int_{-2}^{2}\bigl(x^{3}+1\bigr)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\bigl(m_i^{3}+1\bigr)\,\Delta x=4.

Passo 7

Breve comentário didático final (para fixar a ideia): a parte \int_{-2}^{2}x^{3}\,dx some porque x^{3} é função ímpar e o intervalo é simétrico em torno de zero (cada contribuição positiva é cancelada por uma negativa). A parte \int_{-2}^{2}1\,dx é simplesmente a área do retângulo de altura 1 e base 4, que vale 4. Isso confirma o resultado obtido pela soma de Riemann.

Resposta

4

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