Nos itens a seguir,
a)
b)
c)
(i) Mostre que
é um ponto singular regular da EDO dada.
(ii) Encontre os expoentes no ponto singular
.
(iii) Encontre os três primeiros termos não-nulos de duas soluções L.I. (não-múltiplas uma da outra) em torno de $x=0.
a)
b)
c)
(i) Mostre que
(ii) Encontre os expoentes no ponto singular
(iii) Encontre os três primeiros termos não-nulos de duas soluções L.I. (não-múltiplas uma da outra) em torno de $x=0.
Passo 1
O enunciado apresenta três equações diferenciais ordinárias de segunda ordem (linéares, homogêneas) e pede, para cada uma delas, três coisas:
(i) mostrar que é um ponto singular regular da EDO;
(ii) encontrar os expoentes (raízes da equação indicial) em ;
(iii) obter os três primeiros termos não-nulos de duas soluções linearmente independentes em torno de (duas soluções L.I., não múltiplas uma da outra).
(i) mostrar que
(ii) encontrar os expoentes (raízes da equação indicial) em
(iii) obter os três primeiros termos não-nulos de duas soluções linearmente independentes em torno de
As EDO são:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Todas são equações lineares de segunda ordem homogêneas.
- O ponto onde vamos estudar é
. - Para verificar se
é ponto singular regular, vai-se escrever cada EDO na forma padrão
e verificar se
e
são analíticos (têm expansão em série de Taylor) em
.
- Para os expoentes, usaremos o método de Frobenius: procurar soluções da forma
e obter a equação indicial pelo coeficiente do menor expoente (termo independente em séries), que tem a forma
onde
e
.
- Quando as raízes da indicial são iguais ou diferem por inteiro, a segunda solução pode envolver um termo em
; para encontrar a segunda solução, quando for conveniente, usaremos redução de ordem:
A partir daqui vou resolver cada item (a), (b) e (c) seguindo os passos acima, mostrando as fórmulas, recorrências e calculando explicitamente os primeiros coeficientes das séries.
Passo 2
(Didática curta sobre o teste de ponto singular regular e equação indicial)
- Para uma EDO linear de 2ª ordem na forma padrão
o ponto
é um ponto singular regular se
e
são analíticos em
. Se isso ocorre, existe solução do tipo Frobenius
.
- Ao inserir
e coletar o menor expoente obtém-se a equação indicial
com
e
.
- Depois da indicial, obtemos uma recorrência para os
(que depende das expansões de e ) e calculamos até termos os termos solicitados. Se as raízes da indicial diferirem por inteiro positivo, a segunda solução pode ter termo em ; uma forma prática de obter a segunda solução é a redução de ordem com a fórmula acima.
Agora aplico isso a cada equação.
Passo 3
Item (a):
.
- Pôr na forma padrão dividindo por
(válido para ):
Assim
- Verificar regularidade em
:
Portanto
é ponto singular regular.
- Coeficientes para a indicial:
Equação indicial:
Logo a única raiz é
com multiplicidade
(raiz dupla).
- Procurar a solução de Frobenius com
:
Assumir
Calcule
e
e substitua na forma padrão; ao alinhar potências, obtém-se a recorrência (procedimento padrão, mostro resumidamente):
coeficiente do termo em dá
coeficiente do termo em
Com
isso vira
e a condição indicial forneceu
que leva ao
já usado.
Com
livre, escolhemos
para normalizar e obter os primeiros coeficientes:
Portanto a primeira solução (tomando
) tem, até os três primeiros termos não nulos,
- Segunda solução (caso de raiz dupla): usar redução de ordem.
A fórmula de redução de ordem paraé
Aqui
então
e
. Assim o integrando é
.
Aproximação prática: com
temos
Assim
Integrando:
Multiplicando por
(e escolhendo
apenas para uma forma particular independente),
Expandindo e recolhendo termos até ordem
e
:
Os três primeiros termos não-nulos (ordenando por potências e logs) podem ser escritos como
Resumo do item (a):
-
é ponto singular regular; - indicial:
(raiz dupla); - duas soluções independentes (primeiros termos):
Passo 4
Item (b):
.
- Forma padrão (dividindo por
):
Portanto
- Regularidade:
Logo
é ponto singular regular.
- Coeficientes indicial:
Equação indicial:
logo
ou
.
- Obter soluções:
- Tentar
: com a recorrência que surge é
Para
, no caso
aparece
, o que contradiz
. Portanto não existe série de Frobenius regular com
(ou seja, a solução com
não surge como série pura; veremos que a segunda solução terá comportamento singular ou logarítmico). Assim a série válida surge com
.
- Para
: assumir . A recorrência que se obtém (diretamente) é
com
livre. Tomando
, obtemos
Portanto a solução correspondente é
- Segunda solução pelo método da redução de ordem:
Como, temos e a fórmula simplifica para
Com a aproximação
obtemos
logo
Integrando:
Multiplicando por
(e escolhendo
para uma forma conveniente),
Com
isso dá
Os três primeiros termos não-nulos podem ser apresentados como
Resumo do item (b):
-
é ponto singular regular; - expoentes:
e ; - soluções (três primeiros termos):
Passo 5
Item (c):
.
- Colocar na forma padrão (dividir por
):
Logo
- Verificar regularidade:
- Expandir
e em série em :
- Então
Ambos são analíticos em
. Então
é ponto singular regular.
- Coeficientes indicial:
Equação indicial:
Portanto
(duas raízes diferentes, não iguais).
- Construção das séries (método de Frobenius com mais detalhe):
- Escrever
, . Substituindo e usando as séries de e até ordem necessária, ao coletar o coeficiente de obtém-se a recorrência (mostro a forma útil para cálculo dos primeiros coeficientes):
Isso vem das contribuições das expansões
e
combinadas com
e
. A recorrência liga
com
.
-
Para
: - Indicial satisfeita. Além disso, como a recorrência conecta
a , normalmente e só os termos de paridade compatível aparecem. Calculamos explicitamente:
– Para: denom . O termo com dá . Assim
– Para: denom . O coeficiente multiplicando é zero (cancela) mas há termo de ordem vindo dos termos de ordem 4 das séries; calculando (usando os coeficientes de e até ) obtemos Assim, escolhendo, os três primeiros termos não-nulos são - Indicial satisfeita. Além disso, como a recorrência conecta
-
Para
: - A análise da recorrência mostra uma degenerescência no passo
: o coeficiente do no lado esquerdo é zero e aparece uma condição que força se tentarmos uma expansão sem log, o que contradiz . Isso indica que a segunda solução associada à raiz não aparece como uma série de Frobenius pura, e sim envolve termos logarítmicos (essa situação é esperada quando as raízes diferem por inteiro — aqui diferem por — e as condições da recorrência geram termos ). - Então obtemos
pela redução de ordem a partir de : Agora . Expandimos então e Com obtemos Assim o integrando é Integrando: Multiplicando por (tomando para fixar uma escolha particular independente), Com isso dá, ao multiplicar e reter termos até ordem , Assim os três primeiros termos não-nulos (em ordem de potências e logs) são
- A análise da recorrência mostra uma degenerescência no passo
Resumo do item (c):
-
é ponto singular regular; - expoentes:
e ; - soluções (três primeiros termos):
Resposta
(a)(i)
é ponto singular regular.
(a)(ii) expoentes: (raiz dupla).
(a)(iii) duas soluções L.I. (três primeiros termos):
(a)(ii) expoentes:
(a)(iii) duas soluções L.I. (três primeiros termos):
(b)(i)
é ponto singular regular.
(b)(ii) expoentes: e
.
(b)(iii) duas soluções L.I. (três primeiros termos):
(b)(ii) expoentes:
(b)(iii) duas soluções L.I. (três primeiros termos):
(c)(i)
é ponto singular regular.
(c)(ii) expoentes: e
.
(c)(iii) duas soluções L.I. (três primeiros termos):
(c)(ii) expoentes:
(c)(iii) duas soluções L.I. (três primeiros termos):