Seja
. Verifique se a função
é par ou ímpar. justifique.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido (peguei tudo do enunciado):
- Foi dada a função
, com e , onde . - Pergunta: verificar se a função
é par ou ímpar e justificar. - Informação relevante: o domínio é simétrico em torno de
(é ), o que é necessário para falar de paridade.
Passo 2
Lembrete das definições e como usá‑las (passo didático):
- Uma função
é par se, para todo do domínio, vale . - Uma função
é ímpar se, para todo do domínio, vale . - Para aplicar essas definições basta calcular explicitamente
e comparar com .
Observação: como o domínio é, tanto quanto estão no domínio, então é válido comparar com .
Passo 3
Calcule
passo a passo (mostrando cada propriedade usada):
Primeiro, substituir no lugar de
:
Primeiro, substituir
Agora simplificar cada fator:
-
, porque potência ímpar inverte o sinal. -
, porque é par (já que ); de forma explícita .
Portanto o expoente dentro do exponencial fica igual a, e assim
Substituindo essas simplificações em
:
Passo 4
Compare com
e conclua:
A função original é
A função original é
Da expressão obtida para
temos
Como
para todo
do domínio, pela definição acima a função
é ímpar.
Passo 5
Outra visão curta (útil na prova):
-
é função ímpar. -
é par, logo é função par (pois depende de ). -
é par; soma de funções pares é par, então é par. - Produto de uma função ímpar por uma função par é ímpar.
Essa cadeia de propriedades dá a mesma conclusão de forma rápida e justificada — bom para escrever num gabarito.