Seja f(x)=x^{3} *\left(1+\exp \left(-x^{2 m}\right)\right), m \in \mathbb{N}, x \in[-a,+a], a \in \mathbb{R}. Verifique se a função f(\bullet) é par ou ímpar. justifique.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido (peguei tudo do enunciado):
  • Foi dada a função \,f(x)=x^{3}\cdot\bigl(1+\exp\!\bigl(-x^{2m}\bigr)\bigr), com m\in\mathbb{N} e x\in[-a,+a], onde a\in\mathbb{R}.
  • Pergunta: verificar se a função \,f é par ou ímpar e justificar.
  • Informação relevante: o domínio é simétrico em torno de 0 [-a,a]), o que é necessário para falar de paridade.

Passo 2

Lembrete das definições e como usá‑las (passo didático):
  • Uma função g é par se, para todo x do domínio, vale \,g(-x)=g(x).
  • Uma função g é ímpar se, para todo x do domínio, vale \,g(-x)=-g(x).
  • Para aplicar essas definições basta calcular explicitamente f(-x) e comparar com f(x).
    Observação: como o domínio é [-a,a], tanto x quanto -x estão no domínio, então é válido comparar f(-x) com f(x).

Passo 3

Calcule \,f(-x) passo a passo (mostrando cada propriedade usada):
Primeiro, substituir -x no lugar de x:
f(-x)=(-x)^{3}\cdot\bigl(1+\exp\!\bigl(-(-x)^{2m}\bigr)\bigr).
Agora simplificar cada fator:
  • (-x)^{3}=-x^{3}, porque potência ímpar inverte o sinal.
  • (-x)^{2m}=x^{2m}, porque 2m é par (já que m\in\mathbb{N}); de forma explícita (-x)^{2m}=((-x)^{2})^{m}=x^{2m}.
    Portanto o expoente dentro do exponencial fica igual a -x^{2m}, e assim
\exp\!\bigl(-(-x)^{2m}\bigr)=\exp\!\bigl(-x^{2m}\bigr).
Substituindo essas simplificações em f(-x):
f(-x)= -x^{3}\cdot\bigl(1+\exp\!\bigl(-x^{2m}\bigr)\bigr).

Passo 4

Compare com f(x) e conclua:
A função original é
f(x)= x^{3}\cdot\bigl(1+\exp\!\bigl(-x^{2m}\bigr)\bigr).
Da expressão obtida para f(-x) temos
f(-x)=-x^{3}\cdot\bigl(1+\exp\!\bigl(-x^{2m}\bigr)\bigr)=-\,\bigl(x^{3}\cdot\bigl(1+\exp\!\bigl(-x^{2m}\bigr)\bigr)\bigr)=-f(x).
Como f(-x)=-f(x) para todo x do domínio, pela definição acima a função f é ímpar.

Passo 5

Outra visão curta (útil na prova):
  • x^{3} é função ímpar.
  • x^{2m} é par, logo \exp(-x^{2m}) é função par (pois depende de x^{2m}).
  • 1 é par; soma de funções pares é par, então 1+\exp(-x^{2m}) é par.
  • Produto de uma função ímpar por uma função par é ímpar.
    Essa cadeia de propriedades dá a mesma conclusão de forma rápida e justificada — bom para escrever num gabarito.

Resposta

\,f é ímpar.

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