(iv) Em cada um dos itens abaixo diga se a função é injetora, sobrejetora, bijetora:
d)
, dada por
, para
d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para a gente determinar se a função
, definida por
, é injetora, sobrejetora ou bijetora. A gente vai precisar entender os conceitos de injeção, sobrejeção e bijeção para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada termo significa:
-
Injetora: Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio correspondem a elementos diferentes do contradomínio. Ou seja, não tem dois
diferentes que dão o mesmo . -
Sobrejetora: Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele.
-
Bijetora: Uma função é bijetora se for tanto injetora quanto sobrejetora.
Passo 3
Vamos verificar se a função é injetora. Para isso, precisamos ver se
implica
.
Considerando
:
Se
, então:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Como
está definido em
, ou seja, só valores não negativos, podemos tirar a raiz quadrada:
Então, cada valor de
no domínio corresponde a um único valor de
. Portanto, a função é injetora.
Passo 4
Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Para ser sobrejetora, todo valor no contradomínio
precisa ter pelo menos um valor no domínio
que mapeia para ele.
Vamos pegar um valor qualquer
e resolver para
:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Como
,
. Então:
Como
está no domínio
, para qualquer
existe um
que mapeia para ele. Portanto, a função é sobrejetora.
Passo 5
Como a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora.
Resposta
A função
definida de
para
é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora.