(iv) Em cada um dos itens abaixo diga se a função é injetora, sobrejetora, bijetora:
d) f:[0, infty) [4, infty), dada por f(x)=x^2+4, para x in R

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para a gente determinar se a função f: [0, infty) [4, infty) , definida por f(x) = x^2 + 4 , é injetora, sobrejetora ou bijetora. A gente vai precisar entender os conceitos de injeção, sobrejeção e bijeção para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada termo significa:
  • Injetora: Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio correspondem a elementos diferentes do contradomínio. Ou seja, não tem dois x diferentes que dão o mesmo f(x) .
  • Sobrejetora: Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um elemento no domínio que mapeia para ele.
  • Bijetora: Uma função é bijetora se for tanto injetora quanto sobrejetora.

Passo 3

Vamos verificar se a função é injetora. Para isso, precisamos ver se f(x1) = f(x2) implica x1 = x2 .
Considerando f(x) = x^2 + 4 :
Se f(x1) = f(x2) , então:
x1^2 + 4 = x2^2 + 4
Subtraindo 4 de ambos os lados:
x1^2 = x2^2
Como x está definido em [0, infty) , ou seja, só valores não negativos, podemos tirar a raiz quadrada:
x1 = x2
Então, cada valor de x no domínio corresponde a um único valor de f(x) . Portanto, a função é injetora.

Passo 4

Agora, vamos ver se a função é sobrejetora. Para ser sobrejetora, todo valor no contradomínio [4, infty) precisa ter pelo menos um valor no domínio [0, infty) que mapeia para ele.
Vamos pegar um valor qualquer y in [4, infty) e resolver para x :
y = x^2 + 4
Subtraindo 4 de ambos os lados:
x^2 = y - 4
Como y >= 4 , y - 4 >= 0 . Então:
x = raizy - 4
Como x está no domínio [0, infty) , para qualquer y >= 4 existe um x que mapeia para ele. Portanto, a função é sobrejetora.

Passo 5

Como a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora.

Resposta

A função f(x) = x^2 + 4 definida de [0, infty) para [4, infty) é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora.

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