Nos problemas 11-18, determine uma transformada de Laplace inversa da função dada.
e^-s(3 s^2-s+2)(s-1)(s^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=e^-s,(3s^2-s+2)(s-1)(s^2+1)
Aqui vamos aplicar duas ideias principais:
  1. A propriedade de deslocamento no tempo, pois há o fator e^-s.
  2. Decomposição em frações parciais para inverter a parte racional
    3s^2-s+2(s-1)(s^2+1).

Passo 2

Usando a propriedade de deslocamento, escrevemos
F(s)=e^-1cdot s,G(s), G(s)=3s^2-s+2(s-1)(s^2+1)
Logo, se g(t)= L^-1G(s), então
f(t)= L^-1F(s) =H(t-1),g(t-1),
onde H(t-1) é a função degrau unitário deslocada.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais de
Multiplicando ambos os lados por e igualando coeficientes, obtemos o sistema
Resolvendo, vem , . Portanto

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa a cada termo:
L^-1l2s-1r =2e^t, L^-1lss^2+1r =cos t
Assim,
g(t)=2e^t+cos t

Passo 5

Por fim, usamos o deslocamento no tempo:
f(t)=H(t-1),g(t-1) =H(t-1)l[2e^,t-1+cos(t-1)r]

Resposta

f(t)=H(t-1),l[2e^,t-1+cos(t-1)r]

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