Nos problemas 1-4, use o teorema da convolução para obter uma fórmula para a solução do problema de valor inicial dado, em que g(t) é continuo por partes em [0, infty) e de ordem exponencial.
y^n+y=g(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''(t)+y(t)=g(t), y(0)=0,;y'(0)=1,
onde g(t) é contínua por partes em [0,infty) e de ordem exponencial. O conteúdo é usar transformada de Laplace e, em seguida, o teorema da convolução para obter a solução em termos de g.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando Ly(s)=Y(s) e Lg(s)=G(s), temos
Ly''(s)+Ly(s)=G(s)
Pelas fórmulas de derivada na Laplace e usando y(0)=0, y'(0)=1, isso vira
s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)+Y(s)=G(s) ;Longrightarrow; (s^2+1)Y(s)-1=G(s)

Passo 3

Resolvendo para Y(s) isolamos
Y(s)=1s^2+1+G(s)s^2+1
O primeiro termo tfrac1s^2+1 corresponde à parte homogênea (dada pela condição em y'(0)) e o segundo termo envolverá a convolução.

Passo 4

Reconhecemos que
L^-1l1s^2+1r=sin(t),
e que, pelo teorema da convolução,
L^-1lG(s)s^2+1r =integral0^tsin(t-s),g(s),ds

Passo 5

Somando as duas partes pela linearidade da transformada inversa, obtemos a solução
y(t)=sin(t)+integral0^tsin(t-s),g(s),ds

Resposta

y(t)=sin(t)+integral0^tsin(t-s),g(s),ds

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