Nos problemas 1-4, use o teorema da convolução para obter uma fórmula para a solução do problema de valor inicial dado, em que
é continuo por partes em
e de ordem exponencial.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
onde
é contínua por partes em
e de ordem exponencial. O conteúdo é usar transformada de Laplace e, em seguida, o teorema da convolução para obter a solução em termos de
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando
e
, temos
Pelas fórmulas de derivada na Laplace e usando
,
, isso vira
Passo 3
Resolvendo para
isolamos
O primeiro termo
corresponde à parte homogênea (dada pela condição em
) e o segundo termo envolverá a convolução.
Passo 4
Reconhecemos que
e que, pelo teorema da convolução,
Passo 5
Somando as duas partes pela linearidade da transformada inversa, obtemos a solução