J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum cos (k pi)k^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=1^inftycos(kpi)k^2,
que envolve termos oscilantes. O conteúdo aqui são testes de convergência de séries, em especial o teste da série p e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Observamos que, para todo inteiro k,
cos(kpi)=(-1)^k
Portanto a série pode ser reescrita como
sumk=1^inftycos(kpi)k^2 =sumk=1^infty(-1)^kk^2

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, consideramos
sumk=1^inftyl|(-1)^kk^2r| =sumk=1^infty1k^2
Esta é uma série p com p=2>1, e pelo teste da série p sabemos que ela converge.

Passo 4

Como a série de termos absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente (e, logo, converge), pelo teste da série p com p=2.

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