Suponha que u(x, y) e v(x, y) sejam as partes real e imaginária de uma função analítica f. A função g(x, y)=v(x, y)+i u(x, y) pode ser analítica? Justifique sua resposta matematicamente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
g(x,y)=v(x,y)+i,u(x,y)
pode ser analítica, sabendo que u e v são as partes real e imaginária de uma função analítica
f(x,y)=u(x,y)+i,v(x,y)
Para isso vamos usar as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Como f é analítica, u e v satisfazem as condições de Cauchy–Riemann:
ux = vy, uy = -,vx

Passo 3

Para que g seja analítica, suas partes real e imaginária, digamos
alpha(x,y)=v(x,y), beta(x,y)=u(x,y),
devem satisfazer
alphax = betay e alphay = -,betax
Isto é,
vx = uy e vy = -,ux

Passo 4

Comparando com as condições de f:
  • De uy = -,vx tiramos vx = -,uy, mas a primeira condição de g requer vx = uy. Logo
uy = -,uy ;Longrightarrow; uy = 0
  • De ux = vy tiramos vy = ux, mas a segunda condição de g requer vy = -,ux. Logo
ux = -,ux ;Longrightarrow; ux = 0
Portanto nabla u=(ux,uy)=(0,0), ou seja, u é constante. Então, pelas equações de Cauchy–Riemann originais, v também é constante. Assim g é constante.

Passo 5

Concluímos que, salvo o caso trivial em que u e v sejam constantes (e logo g constante), não é possível satisfazer as equações de Cauchy–Riemann para g. Ou seja, g não pode ser uma função analítica não-constante.

Resposta

A função g(x,y)=v(x,y)+i,u(x,y) só é analítica no caso trivial em que u e v sejam constantes; caso contrário, não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann e, portanto, não é analítica.

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