Suponha que
e
sejam as partes real e imaginária de uma função analítica
. A função
pode ser analítica? Justifique sua resposta matematicamente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
pode ser analítica, sabendo que
e
são as partes real e imaginária de uma função analítica
Para isso vamos usar as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Como
é analítica,
e
satisfazem as condições de Cauchy–Riemann:
Passo 3
Para que
seja analítica, suas partes real e imaginária, digamos
devem satisfazer
Isto é,
Passo 4
Comparando com as condições de
:
- De
tiramos , mas a primeira condição de requer . Logo
- De
tiramos , mas a segunda condição de requer . Logo
Portanto
, ou seja,
é constante. Então, pelas equações de Cauchy–Riemann originais,
também é constante. Assim
é constante.
Passo 5
Concluímos que, salvo o caso trivial em que
e
sejam constantes (e logo
constante), não é possível satisfazer as equações de Cauchy–Riemann para
. Ou seja,
não pode ser uma função analítica não-constante.
Resposta
A função
só é analítica no caso trivial em que
e
sejam constantes; caso contrário, não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann e, portanto, não é analítica.