Suponha que
seja analítica. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado fala de uma função
analítica em uma região do plano complexo e pede para mostrar que o módulo ao quadrado da sua derivada satisfaz
onde escrevemos
e usamos as equações de Cauchy–Riemann
Passo 2
Pela definição de derivada complexa e as equações de Cauchy–Riemann, temos
Além disso, usando
e
, obtemos também a forma alternativa
Passo 3
Usando a primeira expressão
, o quadrado do módulo é
Passo 4
Usando a segunda expressão
, o quadrado do módulo fica