Suponha que f(z) seja analítica. Mostre que |f(z)|^2=ux ^2+vx ^2=uy ^2+vy ^2.

Passo 1

O enunciado fala de uma função f analítica em uma região do plano complexo e pede para mostrar que o módulo ao quadrado da sua derivada satisfaz
|f'(z)|^2=ux^2+vx^2=uy^2+vy^2,
onde escrevemos f(z)=u(x,y)+i,v(x,y) e usamos as equações de Cauchy–Riemann
ux=vy, uy=-vx

Passo 2

Pela definição de derivada complexa e as equações de Cauchy–Riemann, temos
f'(z)=partial upartial x+i,partial vpartial x Longrightarrow f'(z)=ux+i,vx
Além disso, usando ux=vy e vx=-uy, obtemos também a forma alternativa
f'(z)=vy-i,uy

Passo 3

Usando a primeira expressão f'(z)=ux+i,vx, o quadrado do módulo é
|f'(z)|^2=(ux)^2+(vx)^2

Passo 4

Usando a segunda expressão f'(z)=vy-i,uy, o quadrado do módulo fica
|f'(z)|^2=(vy)^2+(-uy)^2= (vy)^2+(uy)^2

Resposta

|f'(z)|^2 = ux^2+vx^2 = uy^2+vy^2

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