Suponha que f(z) seja analítica. A função g(z)=f(z) pode ser analítica? Justifique sua resposta matematicamente.

Passo 1

O enunciado diz que f é analítica num domínio DsubsetC e define
g(z)=f(z)
Pergunta-se se g pode ser analítica. Para responder vamos escrever f em termos das suas partes real e imaginária e aplicar as equações de Cauchy–Riemann tanto a f quanto a g.

Passo 2

Como f é analítica, escrevemos
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y)
com u,vcolon DtoR e sabemos que u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
ux = vy, uy = -,vx

Passo 3

Agora escrevemos
g(z)=f(z)=u(x,y)-i,v(x,y)
Identificando
g(z)=phi(x,y)+i,psi(x,y),
temos phi=u e psi=-v. Para que g seja analítica, phi e psi devem satisfazer
phix = psiy, phiy = -,psix

Passo 4

Substituindo phi=u e psi=-v nas condições de Cauchy–Riemann para g, obtemos
ux = (-v)y = -,vy, uy = -l(-vxr)=vx
Mas como f é analítica já temos
ux = vy e uy = -,vx
Comparando:
  • De ux = vy e ux = -,vy segue vy=0, logo ux=0.
  • De uy = -,vx e uy = vx segue vx=0, logo uy=0.

Passo 5

Como ux=uy=vx=vy=0 num domínio conectado, u e v são constantes. Logo f é constante, e então g=f também é constante (portanto trivialmente analítica).

Resposta

A função g(z)=f(z) só é analítica se f for constante. Caso contrário, g não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann e não pode ser analítica.

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