Na Seção 2.6, definimos o ramo principal da raiz quadrada complexa como z^1 / 2=raizr e^i theta / 2,-pi<theta<pi.
Use (10) para mostrar que f1^prime(z)=12 z^-1 / 2 neste domínio.

Passo 1

O enunciado define o ramo principal da raiz quadrada
f1(z)=z^1/2=raizr,e^itheta/2, -pi<theta<pi,
em que escrevemos z=r,e^itheta. Precisamos usar a fórmula (10) para derivadas em coordenadas polares, que diz que, se f(z)=u(r,theta)+i,v(r,theta) satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em polares, então
f'(z)=e^-ithetal(ur+i,vrr)

Passo 2

Escrevemos
f1(r,theta)=raizr,l(cos(tfractheta2)+isin(tfractheta2)r),
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u(r,theta)=raizrcos!l(tfractheta2r), v(r,theta)=raizrsin!l(tfractheta2r)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais em relação a r:
ur=12raizrcos!l(tfractheta2r), vr=12raizrsin!l(tfractheta2r)
Para garantir que f1 é diferenciável, verificaríamos as condições de Cauchy–Riemann em polares
r,ur=vtheta, r,vr=-utheta,
o que de fato ocorre neste ramo, já que
utheta=-raiz r2sin!l(tfractheta2r), vtheta=raiz r2cos!l(tfractheta2r)

Passo 4

Aplicando a fórmula (10) para o derivado em coordenadas polares, obtemos
f1'(z) =e^-ithetal(ur+i,vrr) =e^-itheta12raiz rl(cos(tfractheta2)+isin(tfractheta2)r) =12raiz r,e^-ithetae^itheta/2
Como e^-ithetae^itheta/2=e^-itheta/2, vem
f1'(z)=12raiz r,e^-itheta/2 =12,1raiz r,e^itheta/2 =12,z^-1/2

Resposta

f1'(z)=12,z^-1/2para -pi<theta<pi

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