Na Seção 2.6, definimos o ramo principal da raiz quadrada complexa como
.
Use (10) para mostrar que
neste domínio.
Use (10) para mostrar que
Passo 1
O enunciado define o ramo principal da raiz quadrada
em que escrevemos
. Precisamos usar a fórmula (10) para derivadas em coordenadas polares, que diz que, se
satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em polares, então
Passo 2
Escrevemos
logo
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais em relação a
:
Para garantir que
é diferenciável, verificaríamos as condições de Cauchy–Riemann em polares
o que de fato ocorre neste ramo, já que
Passo 4
Aplicando a fórmula (10) para o derivado em coordenadas polares, obtemos
Como
, vem