Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I:. Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere log (|y|) quando for o caso.
e^t+y y^prime=e^2 t-y.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
e^t+y,dydt=e^2t-y
usando separação de variáveis. O conteúdo envolvido é ODE separável e integração de exponenciais. Vamos identificar como colocar todos os termos em y de um lado e todos os termos em t do outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação isolando dydt:
dydt =e^2t-ye^t+y =e^2t-y-t-y =e^t-2y

Passo 3

Agora separam-se as variáveis:
e^2y,dy =e^t,dt
Em seguida, integramos ambos os lados, lembrando que integral e^2ydy=tfrac12 e^2y e integral e^t dt=e^t:
integral e^2ydy =integral e^t dt ;Longrightarrow; tfrac12,e^2y=e^t+C1

Passo 4

Multiplicando por 2 e reagrupando a constante:
e^2y=2e^t+C,
onde C=2C1 é a constante geral de integração. Como e^2y>0 para todo y, podemos escrever a solução implicitamente como acima.

Passo 5

Para obter y em função de t, aplicamos logaritmo. Usamos ln|,cdot,| para cobrir o caso 2e^t+C<0, embora 2e^t>0 sempre, o que mantém 2e^t+Cneq0 salvo escolha específica de C. Assim:
2y=lnl|2e^t+Cr| Longrightarrow y(t)=12 lnl|2e^t+Cr|

Resposta

y(t)=12,lnl|2e^t+Cr|,
onde C é a constante de integração.

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