J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k^3 2^k+32^2 k

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumk=1^infty k^32^,k+32^2k
converge ou diverge. Vamos simplificar o termo geral e aplicar o teste da razão, que é particularmente eficaz em séries com fator exponencial.

Passo 2

O termo geral é
ak = k^3,2^,k+32^2k
Extraindo 2^3 e combinando as potências de 2, obtemos
ak = 8,k^32^k

Passo 3

Pelo teste da razão, definimos
L = limktoinfty|ak+1ak|
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular o quociente:
ak+1ak = 8,(k+1)^3,2^-(k+1)8,k^3,2^-k = (k+1)^3k^3,12
Como
limktoinfty(k+1)^3k^3=1,
segue
L=limktoinftyak+1ak=12<1

Passo 5

Como L=1/2<1, a série converge absolutamente pelo teste da razão. Logo, a série é convergente.

Resposta

A série converge absolutamente.
Teste utilizado: teste da razão.

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