J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k!e^3 k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumk=0^infty k!e^3k
e explicitar o teste utilizado. Aqui vamos usar o Teste da Razão, pois envolve fatoriais e exponenciais.

Passo 2

Denotamos o k-ésimo termo por
ak = k!e^3k
O Teste da Razão diz para calcularmos
L = limktoinfty ak+1ak
e comparar L com 1.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
ak+1ak = ,(k+1)!/e^3(k+1),,k!/e^3k, = (k+1)!k!,e^3ke^3(k+1) = k+1e^3

Passo 4

Tomando o limite quando ktoinfty:
L = limktoinfty k+1e^3 = +infty
Como L>1, o Teste da Razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão, pois
limktoinfty ak+1ak = +infty > 1

Exercícios relacionados