J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
e explicitar o teste utilizado. Aqui vamos usar o Teste da Razão, pois envolve fatoriais e exponenciais.
e explicitar o teste utilizado. Aqui vamos usar o Teste da Razão, pois envolve fatoriais e exponenciais.
Passo 2
Denotamos o
-ésimo termo por
O Teste da Razão diz para calcularmos
e comparar
com
.
Passo 3
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
Passo 4
Tomando o limite quando
:
Como
, o Teste da Razão garante que a série diverge.
Resposta
A série diverge pelo Teste da Razão, pois