J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série de termos positivos
converge ou diverge. O conteúdo aqui envolve séries de termos positivos e o teste da integral imprópria para verificar convergência.
Passo 2
Para usar o teste da integral, definimos a função contínua, positiva e decrescente em
:
Visto que
cresce com
, o denominador cresce e
é decrescente para
.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral, estudando
Fazemos a substituição
, logo
. Quando
temos
, e quando
temos
. A integral vira
Como
essa integral diverge.
Passo 4
Pelo teste da integral imprópria, como
integral2^inftyf(x),dx=infty ,
a série
sumk=2^inftyf(k)
também diverge.
a série
também diverge.
Resposta
A série diverge pelo teste da integral imprópria.