J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum 1k raizln k

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série de termos positivos
sumk=2^infty1kraizln k
converge ou diverge. O conteúdo aqui envolve séries de termos positivos e o teste da integral imprópria para verificar convergência.

Passo 2

Para usar o teste da integral, definimos a função contínua, positiva e decrescente em [2,infty):
f(x)=1xraizln x
Visto que ln x cresce com x, o denominador cresce e f(x) é decrescente para x>=2.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, estudando
integral2^infty1xraizln x,dx
Fazemos a substituição t=ln x, logo dt=dxx. Quando x=2 temos t=ln2, e quando xtoinfty temos ttoinfty. A integral vira
integralln2^inftyt^-1/2,dt
Como
integralln2^inftyt^-1/2,dt =2raizt|t=ln2^ttoinfty =limTtoinfty2l(raizT-raizln2r) =infty,
essa integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral imprópria, como
integral2^inftyf(x),dx=infty,
a série
sumk=2^inftyf(k)
também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da integral imprópria.

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