Resolva as equações diferenciais.
y^prime=-3 x^2-e^yy^3+x e^y-2 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y'=-3x^2 - e^yy^3 + x e^y - 2y. Esse tipo de equação pode ser tratada como exata ao reorganizar em M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por dx e rearranjando, obtemos
(3x^2 + e^y),dx + (x e^y - 2y),dy = 0
Aqui identificamos M(x,y)=3x^2 + e^y e N(x,y)=x e^y - 2y.

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y=e^y, partial Npartial x=e^y
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Para achar a função potencial F(x,y), integramos M em relação a x:
F(x,y)=integral(3x^2 + e^y),dx = x^3 + x e^y + g(y)

Passo 5

Derivando F em relação a y e igualando a N(x,y):
partial Fpartial y = x e^y + g'(y) = x e^y - 2y
Logo g'(y)=-2y e, ao integrar, g(y)=-y^2.

Passo 6

Substituindo em F, obtemos a função potencial
F(x,y)=x^3 + x e^y - y^2

Resposta

x^3 + x e^y - y^2 = C

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