Nas questões 1), 2) e 3), abaixo, referir-se ao sistema regular de Sturm-Liouville
\left\{\begin{array}{l} X^{\prime \prime}(x)=\lambda X(x)(0<x<L) \\\ X(0)=0=X^{\prime}(L) \end{array}\right.
(10 pts) As funções não-nulas X=X(x)(0 \leq x \leq L) que satisfazem (1) com \lambda=-\frac{\pi^{2}}{4 L^{2}} são todas elas múltiplas (escalares) de \tilde{X}(x)=\sin \left(\frac{\pi x}{2 L}\right)(0 \leq x \leq L).
( ) V ( ) F

Passo 1

O enunciado trata de um problema de Sturm–Liouville regular
\begin{cases} X''(x)=\lambda\,X(x),&0<x<L,\\\ X(0)=0,\\\ X'(L)=0, \end{cases}
e pede que verifiquemos se, para \lambda=-\frac{\pi^2}{4L^2}, todas as soluções não-nulas são múltiplos de \tilde X(x)=\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{2L}\bigr). Vamos resolver a EDO, impor as condições de contorno e mostrar que o espaço de soluções é unidimensional.

Passo 2

Como \lambda<0, definimos
\alpha^2=-\lambda=\frac{\pi^2}{4L^2},
isto é, \alpha=\frac{\pi}{2L}. A equação X''=\lambda X vira
X'' + \alpha^2 X = 0,
cuja solução geral é
X(x)=A\cos(\alpha x)+B\sin(\alpha x),
com A,B constantes.

Passo 3

Impondo X(0)=0 temos
X(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A=0.
Logo
X(x)=B\sin(\alpha x).

Passo 4

Agora X'(x)=B\,\alpha\cos(\alpha x). A condição X'(L)=0 exige
B\,\alpha\cos(\alpha L)=0.
Como B\neq0 (queremos soluções não-nulas) e \alpha>0, precisamos de
\cos(\alpha L)=\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2L}\,L\Bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0,
que de fato se verifica para \alpha=\frac{\pi}{2L}.

Passo 5

Concluímos que o espaço de soluções não-nulas é dado por
X(x)=B\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi x}{2L}\Bigr),
i.e.\ todas as soluções são múltiplos escalares de \tilde X(x)=\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{2L}\bigr). Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

V

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