(10 pts) As funções não-nulas X=X(x)(0 \leq x \leq L) que satisfazem (1) com \lambda=-\frac{\pi^{2}}{4 L^{2}} são todas elas múltiplas (escalares) de \tilde{X}(x)=\sin \left(\frac{\pi x}{2 L}\right)(0 \leq x \leq L).
( ) V ( ) F
Passo 1
O enunciado trata de um problema de Sturm–Liouville regular
e pede que verifiquemos se, para \lambda=-\frac{\pi^2}{4L^2}, todas as soluções não-nulas são múltiplos de \tilde X(x)=\sin\bigl(\tfrac{\pi x}{2L}\bigr). Vamos resolver a EDO, impor as condições de contorno e mostrar que o espaço de soluções é unidimensional.
Passo 2
Como \lambda<0, definimos
\alpha^2=-\lambda=\frac{\pi^2}{4L^2},
isto é, \alpha=\frac{\pi}{2L}. A equação X''=\lambda X vira
X'' + \alpha^2 X = 0,
cuja solução geral é
X(x)=A\cos(\alpha x)+B\sin(\alpha x),
com A,B constantes.
Passo 3
Impondo X(0)=0 temos
X(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A=0.
Logo
X(x)=B\sin(\alpha x).
Passo 4
Agora X'(x)=B\,\alpha\cos(\alpha x). A condição X'(L)=0 exige
B\,\alpha\cos(\alpha L)=0.
Como B\neq0 (queremos soluções não-nulas) e \alpha>0, precisamos de