Um jato de água de vazão 100 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{s} está se movendo na direção positiva do eixo x com velocidade de 18 \mathrm{ft} / \mathrm{s}. A água atinge um distribuidor estacionário, de forma que metade do escoamento é desviado para cima a 45^{\circ}
e a outra metade é direcionada para baixo. Ambas as correntes de água tem a mesma velocidade média de 18 \mathrm{ft} / \mathrm{s}. Desprezando efeitos gravitacionais, calcule as componentes x e z da força necessária para manter o distribuidor no lugar.

Passo 1

O enunciado descreve um jato de água de vazão Q=100\ft^3/\s e velocidade V=18\ft/\s que incide num distribuidor estacionário. Metade do fluxo sai para cima a 45^\circ e a outra metade para baixo a 45^\circ, ambas com a mesma velocidade V. Desprezando gravidade, vamos usar o princípio da quantidade de movimento em regime permanente, segundo o qual a força resultante no distribuidor é
\mathbf{F} \;=\;\dot m\,\mathbf{v}_{\rm out}-\dot m\,\mathbf{v}_{\rm in}.

Passo 2

Calculamos a massa específica de água em unidades inglesas. A água tem peso específico \gamma=62{,}4\lbm/\ft^3 e g_c=32{,}2\lbm\ft/(\lbf\s^2), logo a densidade de massa é
\rho=\frac{\gamma}{g_c} =\frac{62{,}4}{32{,}2} \approx1{,}937\;\slug/\ft^3.
Assim, a vazão mássica é
\dot m=\rho\,Q =1{,}937\;\frac{\slug}{\ft^3}\times100\;\frac{\ft^3}{\s} =193{,}7\;\frac{\slug}{\s}.

Passo 3

Cada corrente de saída tem metade da vazão mássica:
\dot m_{\rm each}=\frac{\dot m}{2}=96{,}85\;\slug/\s.
As componentes de velocidade em x e z são, para V=18\ft/\s e \theta=45^\circ:
v_x=V\cos45^\circ=18\cdot\frac{\sqrt2}{2}=12{,}73\ft/\s, \quad v_z=\pm V\sin45^\circ=\pm12{,}73\ft/\s.

Passo 4

Fluxo de momento na direção x:
entrada: \dot m\,V=193{,}7\times18=3486{,}6\;\lbf,
saída: duas correntes de mesmo v_x dão
2\,\dot m_{\rm each}\,v_x =2\times96{,}85\times12{,}73 =2467{,}2\;\lbf.
Na direção z, como uma corrente vai para cima e a outra para baixo com mesmo módulo, o somatório dos fluxos de momento é zero.

Passo 5

A força resultante exercida pela água no distribuidor é
F_x =\bigl(\text{momento}_x^{\rm out}\bigr) -\bigl(\text{momento}_x^{\rm in}\bigr) =2467{,}2-3486{,}6=-1019{,}4\;\lbf,
F_z=0-\;0=0\;\lbf.
O sinal negativo em F_x indica que o fluido empurra o distribuidor para o sentido negativo de x. Para manter o distribuidor fixo, é preciso aplicar a ele uma força de igual módulo e sentido oposto, isto é, +x.

Resposta

F_x=1{,}02\times10^3\lbf (para a direita) F_z=0\lbf

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