(Valor 3.5 pts) O cozimento de uma fatia de carne em um forno convectivo pode ser modelado como um processo de transferência de calor por condução transiente em uma placa infinita. A espessura da fatia é 4 cm , sua temperatura inicial é 25 C e as propriedades da carne são : \mathrm{k}=0.4 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K} e \alpha=1.2510^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. A fatia é assada (com os dois lados expostos) em forno com temperatura do ar \mathrm{T}=150 \mathrm{C} e coeficiente de transferência de calor por convecção de 60 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. A fatia está assada quando a temperatura no plano central é de 80 C .
a) Calcule o tempo necessário para a fatia estar assada.
b) Considerando o efeito do encolhimento da carne, refaça o item a) considerando a espessura da carne de 3 cm .
c) O tempo real para a carne estar assada é maior ou menor que o valor obtido no item b)? Explique.

Passo 1

O enunciado modela o cozimento de uma fatia de carne como condução transiente num slab infinito de espessura total 2L, com ambas faces expostas a convecção. Temos: \,2L=0{,}04\\ \mathrm{m}, T_i=25\,^\circ\mathrm{C}, T_\infty=150\,^\circ\mathrm{C}, \,k=0{,}4\\ \mathrm{W/(m\,K)}, \alpha=1{,}25\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}, \,h=60\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
Queremos o tempo t para que a temperatura no plano central atinja T(0,t)=80\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Usamos a solução em série para um slab com convecção em x=\pm L. Definimos as variáveis adimensionais
\theta(t)\;=\;\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}, \quad \mathrm{Bi}=\frac{h\,L}{k}, \quad \mathrm{Fo}=\frac{\alpha\,t}{L^2}.
A condição de contorno gera autovalores \phi_n dados por
\phi_n\,\tan\phi_n=\mathrm{Bi},
e a solução no centro (em primeira aproximação de um termo) é
\theta(\mathrm{Fo}) \approx A_1\,e^{-\phi_1^2\,\mathrm{Fo}},
com
A_1=\frac{4\sin\phi_1}{2\,\phi_1+\sin(2\,\phi_1)}.
Para atingir T(0,t)=80\,^\circ\mathrm{C} temos
\theta=\frac{80-150}{25-150}=\frac{-70}{-125}=0{,}56.
Então
e^{-\phi_1^2\,\mathrm{Fo}} =\frac{\theta}{A_1}, \quad \mathrm{Fo} =-\frac{1}{\phi_1^2}\ln\!\Bigl(\frac{\theta}{A_1}\Bigr), \quad t=\frac{L^2}{\alpha}\,\mathrm{Fo}.

Passo 3

Caso (a): 2L=0{,}04\\ \mathrm{m}\Rightarrow L=0{,}02\\ \mathrm{m}.
\mathrm{Bi}_1=\frac{60\cdot0{,}02}{0{,}4}=3.
Resolve-se \phi_1\tan\phi_1=3 por tentativa e acha-se \phi_1\approx1{,}193.
Calcula-se
A_1 =\frac{4\sin(1{,}193)}{2\cdot1{,}193+\sin(2\cdot1{,}193)} \approx1{,}209.

Passo 4

Com \phi_1=1{,}193 e A_1=1{,}209, e \theta=0{,}56:
\mathrm{Fo} =-\frac{1}{1{,}193^2}\ln\!\bigl(\tfrac{0{,}56}{1{,}209}\bigr) \approx0{,}541,
t =\frac{(0{,}02)^2}{1{,}25\times10^{-7}}\times0{,}541 \approx1{,}73\times10^{3}\\ \mathrm{s} \approx28{,}9\\ \mathrm{min}.

Passo 5

Caso (b): 2L=0{,}03\\ \mathrm{m}\Rightarrow L=0{,}015\\ \mathrm{m}.
\mathrm{Bi}_2=\frac{60\cdot0{,}015}{0{,}4}=2{,}25.
Resolve-se \phi_1\tan\phi_1=2{,}25 e obtém-se \phi_1\approx1{,}12.
A_1 =\frac{4\sin(1{,}12)}{2\cdot1{,}12+\sin(2\cdot1{,}12)} \approx1{,}187.
Então
\mathrm{Fo} =-\frac{1}{1{,}12^2}\ln\!\bigl(\tfrac{0{,}56}{1{,}187}\bigr) \approx0{,}599,
t =\frac{(0{,}015)^2}{1{,}25\times10^{-7}}\times0{,}599 \approx1{,}08\times10^{3}\\ \mathrm{s} \approx18{,}0\\ \mathrm{min}.

Passo 6

Na prática a espessura vai diminuindo progressivamente durante o cozimento. O modelo do item (b) assume 2L=3\\ \mathrm{cm} desde o início, o que superestima a velocidade de aquecimento. Por isso, o tempo real necessário será maior do que o valor obtido em (b), já que, até a carcaça encolher de 4 cm para 3 cm, a condução é mais lenta.

Resposta

(a) t\approx1{,}73\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx28{,}9\\ \mathrm{min}.
(b) t\approx1{,}08\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx18{,}0\\ \mathrm{min}.
(c) O tempo real será maior que 18{,}0\\ \mathrm{min} pois o modelo com 3\\ \mathrm{cm} de espessura fixa subestima o tempo até a fatia encolher dessa espessura.

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