(Valor 3.5 pts) Dois tubos de aço ( \mathrm{k}=150 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K} ) com diâmetro interno 4.0 in , espessura de 0.375 e comprimento 2.5 ft serão soldados utilizando um maçarico. O maçarico irá impor na junção entre os tubos um fluxo de calor \dot{q} em [W]. O ar em volta dos tubos está a \mathrm{T}_{\propto}=20 \mathrm{C} e o coeficiente de transferência de transferência de calor por convecção externo é de 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{C}. Admita que a convecção do lado interno pode ser negligenciada. A temperatura na junção entre os tubos deve ser elevada para \mathrm{T}_{\mathrm{b}}=230 \mathrm{C} para que ocorra a soldagem.
a) esboce o circuito térmico para o problema
b) Determine o valor de \dot{q}
Dica : Considere cada tubo como uma aleta de comprimento \mathrm{L}=2.5 \mathrm{ft}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois tubos de aço idênticos com condutividade térmica k=150\\ \mathrm{W/mK}, diâmetro interno d_i=4{,}0\\ \mathrm{in}, espessura t=0{,}375\\ \mathrm{in} e comprimento L=2{,}5\\ \mathrm{ft}. Eles são aquecidos na junção por um maçarico até que essa junção atinja T_b=230\\ ^\circ\mathrm{C}. O ar ambiente está a T_\infty=20\\ ^\circ\mathrm{C} com coeficiente de convecção externo h=20\\ \mathrm{W/m^2K}. A convecção interna é desprezível. Vamos modelar cada tubo como uma aleta cilíndrica de comprimento L e calcular a vazão de calor total \dot q fornecida pelo maçarico.

Passo 2

Converter todas as dimensões para o SI:
— Comprimento da aleta:
L = 2{,}5\\ \mathrm{ft}\times 0{,}3048\\ \mathrm{m/ft} = 0{,}762\\ \mathrm{m}.
— Diâmetro interno:
d_i = 4{,}0\\ \mathrm{in}\times 0{,}0254\\ \mathrm{m/in} = 0{,}1016\\ \mathrm{m}.
— Espessura da parede:
t = 0{,}375\\ \mathrm{in}\times 0{,}0254\\ \mathrm{m/in} = 0{,}009525\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular o diâmetro externo, a área de seção transversal da parede e o perímetro para convecção:
— Diâmetro externo:
d_o = d_i + 2\,t = 0{,}1016 + 2\cdot0{,}009525 = 0{,}12065\\ \mathrm{m}.
— Área da seção transversal da parede (condutiva):
A_c = \frac{\pi}{4}\bigl(d_o^2 - d_i^2\bigr) = \frac{\pi}{4}\bigl(0{,}12065^2 - 0{,}1016^2\bigr) = 0{,}003324\\ \mathrm{m^2}.
— Perímetro para convecção externa:
P = \pi\,d_o = \pi\times0{,}12065 = 0{,}3790\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o parâmetro característico da aleta e sua função hiperbólica:
m = \sqrt{\frac{h\,P}{k\,A_c}} = \sqrt{\frac{20\times0{,}3790}{150\times0{,}003324}} = 3{,}90\\ \mathrm{m^{-1}}.
m\,L = 3{,}90 \times 0{,}762 = 2{,}97, \quad \operatorname{tanh}(mL) = \operatorname{tanh}(2{,}97) = 0{,}995.

Passo 5

Circuito térmico e equação da aleta cilíndrica:
Temos duas aletas idênticas em paralelo partindo do nó de temperatura T_b. Cada aleta transfere calor ao longo do comprimento por condução e despeja ao ambiente por convecção distribuída. A vazão de calor por aleta é dada por
\dot q_{\mathrm{fin}} = \sqrt{h\,P\,k\,A_c}\,\bigl(T_b - T_\infty\bigr)\,\operatorname{tanh}\bigl(mL\bigr).
A vazão total é
\dot q = 2\;\dot q_{\mathrm{fin}}.

Passo 6

Calcular numericamente:
\sqrt{h\,P\,k\,A_c} = \sqrt{20\times0{,}3790\times150\times0{,}003324} = 1{,}945\\ \mathrm{W/K}.
\dot q_{\mathrm{fin}} = 1{,}945\times(230 - 20)\times0{,}995 = 1{,}945\times210\times0{,}995 = 405{,}8\\ \mathrm{W}.
\dot q = 2\times405{,}8 = 811{,}6\\ \mathrm{W}.

Resposta

\dot q \approx 8{,}12\times10^2\\ \mathrm{W}.

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