Pretende -se aquecer uma vazão mássica de água de \dot{m}=1,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} que se escoa no interior de uma tubulação com um diâmetro interno D_{i}=40 \mathrm{~mm}. A temperatura da água na seção de entrada da tubulação é igual 10^{\circ} \mathrm{C} e na seção de saída é igual a 35^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que temperatura da parede do tubo é igual a 70^{\circ} \mathrm{C}, em todo o comprimento da tubulação, calcule:
a) a potência calorífica trocada entre a tubulação;
b) o comprimento da tubulação.

Passo 1

O enunciado nos dá uma água escoando em regime permanente por um tubo de diâmetro interno \,D_i=40\text{ mm}, com vazão mássica \dot m=1,5\text{ kg/s}. A temperatura na entrada é T_\mathrm{in}=10^\circ\text{C}, na saída é T_\mathrm{out}=35^\circ\text{C} e a parede está mantida em T_w=70^\circ\text{C}. Precisamos (a) da potência térmica trocada \dot Q e (b) do comprimento L do tubo. Para isso usamos balanço de energia para \dot Q, o critério de log‐mean temperature difference (LMTD) e a correlação de Dittus–Boelter para convecção interna a fim de obter o coeficiente convectivo h.

Passo 2

A potência trocada \dot Q vem do balanço de energia na água:
\dot Q \;=\;\dot m\,c_p\,(T_{\rm out}-T_{\rm in}),
onde, a T_\mathrm{média}=(10+35)/2=22{,}5^\circ\text{C}é, tomamos c_p\approx4180\text{ J/(kg\cdotK)}. Logo
\dot Q =1{,}5\;\times4180\;\times(35-10) =1{,}5\;\times4180\;\times25 =156750\;\text{W}\approx157\;\text{kW}.

Passo 3

Para aplicar LMTD definimos
\Delta T_1 =T_w-T_{\rm in}=70-10=60\text{ K}, \quad \Delta T_2 =T_w-T_{\rm out}=70-35=35\text{ K}.
O log‐mean temperature difference é
\Delta T_{\rm lm} =\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)} =\frac{60-35}{\ln(60/35)} \approx46{,}2\text{ K}.

Passo 4

Calculamos as propriedades de escoamento interno em T_{\rm média}é:
área da seção
A=\frac{\pi D_i^2}{4} =\frac{\pi(0,04)^2}{4} \approx1{,}256\times10^{-3}\;\text{m}^2,
velocidade média
v=\frac{\dot m}{\rho A} \quad\text{com }\rho\approx997\text{ kg/m}^3 \implies v\approx\frac{1{,}5}{997\cdot1{,}256\times10^{-3}} \approx1{,}20\;\text{m/s}.
números adimensionais
\mathrm{Re} =\frac{\rho\,v\,D_i}{\mu} \quad\text{com }\mu\approx9{,}3\times10^{-4}\text{ Pa\cdots} \implies \mathrm{Re}\approx5{,}1\times10^{4},
\mathrm{Pr} =\frac{c_p\,\mu}{k} \quad\text{com }k\approx0{,}598\text{ W/(m\cdotK)} \implies \mathrm{Pr}\approx6{,}5.

Passo 5

Em escoamento turbulento interno usamos Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu}=0,023\,\mathrm{Re}^{0,8}\,\mathrm{Pr}^{0,4} \implies \mathrm{Nu}\approx0,023\times(5{,}1\times10^{4})^{0,8}\times6{,}5^{0,4} \approx283.
Então o coeficiente convectivo interno é
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D_i} =\frac{283\times0{,}598}{0,04} \approx4240\;\text{W/(m}^2\text{\cdotK)}.

Passo 6

A potência também vale
\dot Q = h\;A_{\rm parede}\;\Delta T_{\rm lm} \quad\text{com }A_{\rm parede}=\pi D_i L.
Isolando L:
L =\frac{\dot Q}{h\,\pi D_i\,\Delta T_{\rm lm}} =\frac{156750}{4240\;\times\pi\;0{,}04\;\times46{,}2} \approx6{,}4\;\text{m}.

Resposta

(a) \dot Q\approx1{,}57\times10^5\text{ W} (157 kW)
(b) L\approx6{,}4\text{ m}

Exercícios relacionados