João possui uma dívida de \mathrm{R} \ 5.000,00 com vencimento para daqui a 3 meses. O credor the oferece a possibilidade de antecipar o pagamento com um desconto de6 % sobre o valor nominal. Por outro lado, João também tem a opção de aplicar o valor da dívida com desconto em uma aplicação financeira que rendeãéçãíçã2,2 %$ ao mês em juros compostos, resgatando o montante para quitar a dívida na data do vencimento. Com base nessas informações, qual é a melhor alternativa financeiramente falando: antecipar o pagamento com desconto ou aplicar o valor e pagar a dívida no vencimento?

Passo 1

Resumindo, João deve \mathrm{R\$5000} com vencimento em 3 meses. O credor oferece desconto de 6\% para quem pagar hoje, ou seja, pagaria menos do que \mathrm{R\$ 5000}. Em vez disso, João pode usar esse valor descontado (caso quisesse antecipar) e aplicá-lo hoje a 2{,}2\% ao mês em juros compostos, resgatando o montante em 3 meses para quitar a dívida integralmente. Precisamos comparar o custo de pagar hoje com desconto versus o de pagar no vencimento após aplicar o dinheiro a 2{,}2\% ao mês.

Passo 2

O valor que João pagaria hoje com desconto de 6\% sobre \mathrm{R\$ 5000} é
5000 \times (1 - 0,06) = 5000 \times 0,94 = 4700.
Logo, antecipando, ele desembolsa \mathrm{R\$ 4700}.

Passo 3

Se João aplica \mathrm{R\$ 4700} a 2{,}2\% ao mês em juros compostos durante 3 meses, o montante será
M = 4700 \times (1 + 0,022)^3.
Calculando
(1 + 0,022)^3 \approx 1,067404 \quad\Longrightarrow\quad M \approx 4700 \times 1,067404 \approx 5016,78.

Passo 4

Como o montante \mathrm{R\$5016,78} é suficiente para quitar os \mathrm{R\$ 5000} da dívida no vencimento (sobram \mathrm{R\$16,78}), conclude-se que investir rende mais do que o desconto de 6\%. Em valor presente, descontando \mathrm{R\$ 5000} a 2{,}2\% ao mês por 3 meses, teríamos
PV = \frac{5000}{(1 + 0,022)^3} \approx \frac{5000}{1,067404} \approx 4684,44,
e PV < 4700, o que confirma que é mais barato deixar para pagar no vencimento.

Passo 5

Portanto, financeiramente, vale mais a pena aplicar os \mathrm{R\$4700} à taxa de 2{,}2\% ao mês por 3 meses e quitar a dívida de \mathrm{R\$ 5000} no vencimento, em vez de antecipar o pagamento com desconto.

Resposta

A melhor alternativa é aplicar o valor a 2{,}2\% ao mês e pagar a dívida no vencimento.

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