João tomou emprestado certa quantia de Carlos a taxa de 28,8% a.a . Sabendo-se que Joao pagou R$2061,42 para Carlos, saldando a divida 2 meses antes de seu vencimento e que nesta epoca taxa corrente de mercado era de 25,2% a.a., quanto João tomou emprestado e qual era o prazo incial se os juros previsto maontavam R $ 648,00?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. O João pegou um empréstimo com o Carlos a uma taxa de 28,8% ao ano. Ele pagou um total de R$2061,42 dois meses antes do vencimento. Na hora do pagamento antecipado, a taxa de mercado era de 25,2% ao ano. Sabemos também que os juros previstos eram de R$648,00. Nosso objetivo é descobrir quanto o João realmente pegou emprestado (o principal) e qual era o prazo inicial do empréstimo.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com juros simples, onde calculamos os juros com base no principal, na taxa de juros e no tempo.
O que vamos precisar:
- Fórmula de juros simples: $ J = P \times r \times t $
- Ajuste de tempo devido ao pagamento antecipado
- Entender como a mudança na taxa de mercado afeta o valor a ser pago antecipadamente
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis que já conhecemos:
- Juros previstos: $ J = R$648,00 $
- Taxa de juros anual: $ r = 28,8% = 0,288 $ ao ano
- Valor total pago antecipadamente: $ A = R$2061,42 $
- Taxa de mercado na época do pagamento antecipado: $ r_{mercado} = 25,2% = 0,252 $ ao ano
- Tempo de pagamento antecipado: 2 meses antes do vencimento
Passo 3
Vamos usar a fórmula dos juros simples para relacionar essas variáveis. Sabemos que:
Onde:
- $ J $ é o juros
- $ P $ é o principal (quanto foi emprestado)
- $ r $ é a taxa de juros
- $ t $ é o tempo em anos
Queremos encontrar $ P $ e $ t $.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar o tempo $ t $. Sabemos que o pagamento foi feito 2 meses antes do vencimento, então o tempo total do empréstimo era $ t $ anos, e ele pagou após $ t - \frac{2}{12} = t - \frac{1}{6} $ anos.
Passo 5
Usando a fórmula dos juros previstos:
Podemos rearranjar para encontrar $ P $:
Passo 6
Agora, vamos considerar o valor pago antecipadamente. Quando João paga antecipadamente, ele está pagando os juros até aquele momento, usando a nova taxa de mercado. Então:
Passo 7
Substituímos $ P $ da equação anterior:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ t $.
Passo 8
Primeiro, simplificamos a equação:
Calculamos $ 0,252 \times \frac{1}{6} = 0,042 $:
Passo 9
Multiplicamos os termos:
Simplificamos:
Passo 10
Dividimos cada termo por $ 0,288t $:
Simplificando:
Passo 11
Isolamos a fração:
Passo 12
Multiplicamos ambos os lados por $ 0,288t $:
Passo 13
Resolvemos para $ t $:
Passo 14
Agora que temos $ t $, podemos encontrar $ P $ usando a equação do Passo 5:
Resposta
João tomou emprestado aproximadamente R$1565,22 e o prazo inicial do empréstimo era de aproximadamente 1,443 anos (ou cerca de 1 ano e 5 meses).