João tomou emprestado certa quantia de Carlos a taxa de 28,8% a.a . Sabendo-se que Joao pagou R$2061,42 para Carlos, saldando a divida 2 meses antes de seu vencimento e que nesta epoca taxa corrente de mercado era de 25,2% a.a., quanto João tomou emprestado e qual era o prazo incial se os juros previsto maontavam R $ 648,00?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. O João pegou um empréstimo com o Carlos a uma taxa de 28,8% ao ano. Ele pagou um total de R$2061,42 dois meses antes do vencimento. Na hora do pagamento antecipado, a taxa de mercado era de 25,2% ao ano. Sabemos também que os juros previstos eram de R$648,00. Nosso objetivo é descobrir quanto o João realmente pegou emprestado (o principal) e qual era o prazo inicial do empréstimo.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com juros simples, onde calculamos os juros com base no principal, na taxa de juros e no tempo.
O que vamos precisar:
  • Fórmula de juros simples: $ J = P \times r \times t $
  • Ajuste de tempo devido ao pagamento antecipado
  • Entender como a mudança na taxa de mercado afeta o valor a ser pago antecipadamente

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis que já conhecemos:
  • Juros previstos: $ J = R$648,00 $
  • Taxa de juros anual: $ r = 28,8% = 0,288 $ ao ano
  • Valor total pago antecipadamente: $ A = R$2061,42 $
  • Taxa de mercado na época do pagamento antecipado: $ r_{mercado} = 25,2% = 0,252 $ ao ano
  • Tempo de pagamento antecipado: 2 meses antes do vencimento

Passo 3

Vamos usar a fórmula dos juros simples para relacionar essas variáveis. Sabemos que:
J = P times r times t
Onde:
  • $ J $ é o juros
  • $ P $ é o principal (quanto foi emprestado)
  • $ r $ é a taxa de juros
  • $ t $ é o tempo em anos
Queremos encontrar $ P $ e $ t $.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o tempo $ t $. Sabemos que o pagamento foi feito 2 meses antes do vencimento, então o tempo total do empréstimo era $ t $ anos, e ele pagou após $ t - \frac{2}{12} = t - \frac{1}{6} $ anos.

Passo 5

Usando a fórmula dos juros previstos:
648 = P times 0,288 times t
Podemos rearranjar para encontrar $ P $:
P

Passo 6

Agora, vamos considerar o valor pago antecipadamente. Quando João paga antecipadamente, ele está pagando os juros até aquele momento, usando a nova taxa de mercado. Então:
A = P + P times rmercado times (t - 16)
2061,42 = P (1 + 0,252 times (t - 16))

Passo 7

Substituímos $ P $ da equação anterior:
P
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ t $.

Passo 8

Primeiro, simplificamos a equação:
2061,42 = 6480,288t (1 + 0,252t - 0,252 times 16)
Calculamos $ 0,252 \times \frac{1}{6} = 0,042 $:
0,252 times 16 = 0,042
2061,42 = 6480,288t (1 + 0,252t - 0,042)

Passo 9

Multiplicamos os termos:
2061,42 = 648 times (0,958 + 0,252t)0,288t
Simplificamos:
2061,42 = 648 times 0,958 + 648 times 0,252t0,288t
2061,42 = 620,784 + 163,296t0,288t

Passo 10

Dividimos cada termo por $ 0,288t $:
0,288t
Simplificando:
2061,42 = 620,7840,288t + 163,296t0,288t

Passo 11

Isolamos a fração:
2061,42 - 567 = 620,7840,288t
1494,42 = 620,7840,288t

Passo 12

Multiplicamos ambos os lados por $ 0,288t $:
0,288t
1494,42 times 0,288t = 620,784

Passo 13

Resolvemos para $ t $:
t
t = 620,784430,3

Passo 14

Agora que temos $ t $, podemos encontrar $ P $ usando a equação do Passo 5:
t
P
P = 6480,288 times 1,443

Resposta

João tomou emprestado aproximadamente R$1565,22 e o prazo inicial do empréstimo era de aproximadamente 1,443 anos (ou cerca de 1 ano e 5 meses).

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