Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para que a qual ele usa o sinal ∩ (não usem o verdadeiro sentido desse sinal, é só para o exemplo). Ela funciona assim: a∩b = (a+1)(b-1). Por exemplo, 3∩5 = (3+1)(5-1) = 16. Se a e b são inteiros positivos tais que a∩b = 24 e b∩a = 30, quanto vale a+b?
a)11
b)12
c)15
d)16
e)18

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma operação matemática inventada pelo Joãozinho, representada pelo símbolo ∩, definida por:
a cap b = (a + 1)(b - 1)
Sabemos que a e b são números inteiros positivos que satisfazem as equações:
a cap b = 24 e b cap a = 30
Nosso objetivo é encontrar o valor de a + b. Para resolver isso, vamos usar álgebra básica e fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a definição da operação nas duas equações fornecidas.
Para a cap b = 24:
(a + 1)(b - 1) = 24
Para b cap a = 30:
(b + 1)(a - 1) = 30

Passo 3

Agora, temos duas equações:
(a + 1)(b - 1) = 24 (1)
(b + 1)(a - 1) = 30 (2)
Sabemos que a e b são inteiros positivos, então vamos encontrar pares de fatores de 24 e 30 que possam satisfazer essas equações.

Passo 4

Vamos listar os pares de fatores de 24:
1 times 24, 2 times 12, 3 times 8, 4 times 6
Isso nos dá possíveis valores para (a + 1) e (b - 1). Vamos testar cada par para ver qual se encaixa nas duas equações.

Passo 5

Vamos testar o par a + 1 = 8 e b - 1 = 3:
a + 1 = 8 Rightarrow a = 7
b - 1 = 3 Rightarrow b = 4
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a segunda equação:
(b + 1)(a - 1) = (4 + 1)(7 - 1) = 5 times 6 = 30
Como 30 é igual ao valor dado, esses valores de a e b estão corretos.

Resposta

O valor de a + b é 11.

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