Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para que a qual ele usa o sinal ∩ (não usem o verdadeiro sentido desse sinal, é só para o exemplo). Ela funciona assim: a∩b = (a+1)(b-1). Por exemplo, 3∩5 = (3+1)(5-1) = 16. Se a e b são inteiros positivos tais que a∩b = 24 e b∩a = 30, quanto vale a+b?
a)11
b)12
c)15
d)16
e)18
a)11
b)12
c)15
d)16
e)18
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma operação matemática inventada pelo Joãozinho, representada pelo símbolo ∩, definida por:
Sabemos que
e
são números inteiros positivos que satisfazem as equações:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
. Para resolver isso, vamos usar álgebra básica e fatoração.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a definição da operação nas duas equações fornecidas.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, temos duas equações:
Sabemos que
e
são inteiros positivos, então vamos encontrar pares de fatores de 24 e 30 que possam satisfazer essas equações.
Passo 4
Vamos listar os pares de fatores de 24:
Isso nos dá possíveis valores para
e
. Vamos testar cada par para ver qual se encaixa nas duas equações.
Passo 5
Vamos testar o par
e
:
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a segunda equação:
Como 30 é igual ao valor dado, esses valores de
e
estão corretos.
Resposta
O valor de
é 11.