Seja W=(x1, x2, x3, x4, x5) subset R^5 ; x1+x2=0, x3-x5=0
Determine uma base ortonormal para W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases ortonormais. A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o conjunto W que é definido por certas condições envolvendo vetores em R^5 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa ser ortonormal e como encontrar vetores que satisfazem as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto W . Ele é definido por:
W = ( x1, x2, x3, x4, x5 ) in R^5 ;, x1 + x2 = 0, x3 - x5 = 0
Isso significa que W é o conjunto de todos os vetores em R^5 onde a soma das componentes x1 e x2 é zero, e a diferença entre x3 e x5 também é zero.

Passo 3

Vamos reescrever as condições para facilitar:
  1. x1 + x2 = 0 implica que x2 = -x1 .
  2. x3 - x5 = 0 implica que x5 = x3 .
Agora, podemos expressar os vetores de W em termos das componentes livres x1 , x3 e x4 :
( x1, -x1, x3, x4, x3 )

Passo 4

Vamos parametrizar o vetor em termos das componentes livres:
( x1, -x1, x3, x4, x3 ) = x1 cdot ( 1, -1, 0, 0, 0 ) + x3 cdot ( 0, 0, 1, 0, 1 ) + x4 cdot ( 0, 0, 0, 1, 0 )
Isso nos dá uma base para W :
( 1, -1, 0, 0, 0 ), ( 0, 0, 1, 0, 1 ), ( 0, 0, 0, 1, 0 )

Passo 5

Agora, precisamos transformar essa base em uma base ortonormal. Uma base ortonormal é uma base onde todos os vetores são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores é zero) e cada vetor tem norma 1.
Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores e, em seguida, normalizá-los.

Passo 6

Primeiro, vamos chamar nossos vetores base de:
v1 = ( 1, -1, 0, 0, 0 ), v2 = ( 0, 0, 1, 0, 1 ), v3 = ( 0, 0, 0, 1, 0 )
Vamos começar com v1 . Como é o primeiro vetor, ele já está ortogonalizado. Agora, vamos normalizá-lo.
A norma de v1 é:
| v1 | = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 = raiz1 + 1 = raiz2
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
u1 = v1| v1 | = ( 1raiz2, -1raiz2, 0, 0, 0 )

Passo 7

Agora, vamos ortogonalizar v2 em relação a u1 :
Proju1(v2) = ( v2 cdot u1 ) u1
Calculando o produto interno:
v2 cdot u1 = 0 cdot 1raiz2 + 0 cdot -1raiz2 + 1 cdot 0 + 0 cdot 0 + 1 cdot 0 = 0
Como a projeção é zero, v2 já é ortogonal a u1 . Então, só precisamos normalizar v2 :
| v2 | = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2
Então, o segundo vetor ortonormal é:
u2 = v2| v2 | = ( 0, 0, 1raiz2, 0, 1raiz2 )

Passo 8

Por fim, vamos ortogonalizar v3 em relação a u1 e u2 :
Primeiro, a projeção em u1 :
Proju1(v3) = ( v3 cdot u1 ) u1 = 0
Em seguida, a projeção em u2 :
Proju2(v3) = ( v3 cdot u2 ) u2 = 0 cdot u2 = 0
Então, v3 já é ortogonal a u1 e u2 . Agora, normalizamos v3 :
| v3 | = raiz0^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 = 1
Então, o terceiro vetor ortonormal é:
u3 = v3 = ( 0, 0, 0, 1, 0 )

Resposta

A base ortonormal para W é:
( 1raiz2, -1raiz2, 0, 0, 0 ), ( 0, 0, 1raiz2, 0, 1raiz2 ), ( 0, 0, 0, 1, 0 )

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