Seja
Determine uma base ortonormal para
.
Determine uma base ortonormal para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases ortonormais. A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o conjunto
que é definido por certas condições envolvendo vetores em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa ser ortonormal e como encontrar vetores que satisfazem as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjunto
. Ele é definido por:
Isso significa que
é o conjunto de todos os vetores em
onde a soma das componentes
e
é zero, e a diferença entre
e
também é zero.
Passo 3
Vamos reescrever as condições para facilitar:
-
implica que . -
implica que .
Agora, podemos expressar os vetores de
em termos das componentes livres
,
e
:
Passo 4
Vamos parametrizar o vetor em termos das componentes livres:
Isso nos dá uma base para
:
Passo 5
Agora, precisamos transformar essa base em uma base ortonormal. Uma base ortonormal é uma base onde todos os vetores são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto interno entre quaisquer dois vetores é zero) e cada vetor tem norma 1.
Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores e, em seguida, normalizá-los.
Passo 6
Primeiro, vamos chamar nossos vetores base de:
Vamos começar com
. Como é o primeiro vetor, ele já está ortogonalizado. Agora, vamos normalizá-lo.
A norma de
é:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
Passo 7
Agora, vamos ortogonalizar
em relação a
:
Calculando o produto interno:
Como a projeção é zero,
já é ortogonal a
. Então, só precisamos normalizar
:
Então, o segundo vetor ortonormal é:
Passo 8
Por fim, vamos ortogonalizar
em relação a
e
:
Primeiro, a projeção em
:
Em seguida, a projeção em
:
Então,
já é ortogonal a
e
. Agora, normalizamos
:
Então, o terceiro vetor ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal para
é: