Seja
Determine uma base para
.
Determine uma base para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem um conjunto
em
definido pelas condições
e
. Nosso objetivo é encontrar uma base para o complemento ortogonal de
, que é
. Para isso, vamos precisar entender como encontrar vetores que são ortogonais a todos os vetores em
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
consiste em todos os vetores em
que são ortogonais a cada vetor em
. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) deles for zero. Então, precisamos encontrar vetores
que satisfaçam
para todo
.
Passo 3
Agora, como
é definido por
e
, podemos representar qualquer vetor
como
, onde
,
e
são livres. Isso significa que os vetores em
têm a forma
.
Passo 4
Para que
seja ortogonal a todos esses
, o produto interno
deve ser zero. Calculando isso:
Simplificando:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de
,
e
, os coeficientes de
,
e
devem ser zero. Assim, temos as seguintes equações:
Passo 6
Vamos resolver essas equações:
-
implica que . -
. -
implica que .
Passo 7
Agora, podemos expressar os componentes de
em termos de
e
:
Podemos fatorar
e
:
Passo 8
Isso mostra que quaisquer vetores em
podem ser escritos como combinações lineares dos vetores
e
. Portanto, esses dois vetores formam uma base para
.
Resposta
Uma base para
é formada pelos vetores
.