Seja W=(x1, x2, x3, x4, x5) subset R^5 ; x1+x2=0, x3-x5=0
Determine uma base para W^perp.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem um conjunto W em R^5 definido pelas condições x1 + x2 = 0 e x3 - x5 = 0 . Nosso objetivo é encontrar uma base para o complemento ortogonal de W , que é W^perp . Para isso, vamos precisar entender como encontrar vetores que são ortogonais a todos os vetores em W . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que W^perp consiste em todos os vetores em R^5 que são ortogonais a cada vetor em W . Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) deles for zero. Então, precisamos encontrar vetores v = (v1, v2, v3, v4, v5) que satisfaçam v cdot w = 0 para todo w in W .

Passo 3

Agora, como W é definido por x1 + x2 = 0 e x3 - x5 = 0 , podemos representar qualquer vetor w in W como w = (-x2, x2, x5, x4, x5) , onde x2 , x4 e x5 são livres. Isso significa que os vetores em W têm a forma (-x2, x2, x5, x4, x5) .

Passo 4

Para que v seja ortogonal a todos esses w , o produto interno v cdot w deve ser zero. Calculando isso:
v cdot w = v1(-x2) + v2(x2) + v3(x5) + v4(x4) + v5(x5) = 0
Simplificando:
(-v1 + v2)x2 + v3x5 + v4x4 + v5x5 = 0

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de x2 , x4 e x5 , os coeficientes de x2 , x4 e x5 devem ser zero. Assim, temos as seguintes equações:
-v1 + v2 = 0 v4 = 0 v3 + v5 = 0

Passo 6

Vamos resolver essas equações:
  1. -v1 + v2 = 0 implica que v2 = v1 .
  2. v4 = 0 .
  3. v3 + v5 = 0 implica que v5 = -v3 .

Passo 7

Agora, podemos expressar os componentes de v em termos de v1 e v3 :
v = (v1, v1, v3, 0, -v3)
Podemos fatorar v1 e v3 :
v = v1(1, 1, 0, 0, 0) + v3(0, 0, 1, 0, -1)

Passo 8

Isso mostra que quaisquer vetores em W^perp podem ser escritos como combinações lineares dos vetores (1, 1, 0, 0, 0) e (0, 0, 1, 0, -1) . Portanto, esses dois vetores formam uma base para W^perp .

Resposta

Uma base para W^perp é formada pelos vetores , (1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, -1) , .

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