- Um jogador de basquete arremessa uma bola com um ângulo
. A bola sai das mãos do jogador de uma altura
acima do solo. A cesta encontra-se a uma distância horizontal
das mãos do jogador e a uma altura
acima do solo. A aceleração da gravidade local vale
. Determine (a) o módulo da velocidade de arremesso para que ele consiga acertar a cesta e (b) o módulo da velocidade da bola ao atingir a cesta. Dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) determinar o módulo da velocidade de arremesso para que a bola atinja a cesta;
- (b) determinar o módulo da velocidade da bola no instante em que ela passa pela cesta.
Dados relevantes (peguei estes dados do enunciado/figura):
- aceleração da gravidade:
; - altura das mãos do jogador:
(altura inicial da bola em relação ao solo); - altura da cesta:
(altura final da bola em relação ao solo); - distância horizontal entre mãos e cesta:
; - ângulo de lançamento:
.
Observação importante: todos os símbolos acima (
) são dados conhecidos do problema e devem ser usados nas fórmulas finais.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e escrever as equações do movimento:
- tomar a origem no ponto verticalmente abaixo das mãos do jogador, com eixo
horizontal (positiva na direção da cesta) e eixo vertical (positiva para cima). Assim a posição inicial é e a posição da cesta é . - decompor a velocidade inicial
em componentes horizontal e vertical. Como o ângulo é , valem:
- movimento horizontal: como não há aceleração horizontal, a posição em
é
- movimento vertical: há aceleração constante
, então
Passo 3
Determinar o instante
em que a bola tem a abscissa
:
Esse é o tempo que a bola leva para atravessar horizontalmente a distância
.
Passo 4
Impor que, nesse instante, a altura seja
. Substituir
em
:
Simplificar termo a termo:
- o segundo termo simplifica para
, porque . - o terceiro termo é
Portanto a igualdade fica
Rearranjando para isolar
:
Logo
Tomando raiz positiva (módulo da velocidade inicial):
Condição física: para
real e finito é necessário que o denominador seja positivo, isto é
Se isso não ocorrer, não existe velocidade inicial em ângulo
que leve a bola da altura
até a altura
na distância
.
Passo 5
Determinar o módulo da velocidade ao atingir a cesta (instante
já dado em Passo 3).
Componentes da velocidade no instante de impacto:
- componente horizontal (constante):
- componente vertical:
O módulo da velocidade é
Fazendo a conta e simplificando (desenvolvimento passo a passo):
Somando:
Agora usar o valor de
encontrado no Passo 4 para simplificar a expressão final. Substituindo
e simplificando (ou usando a interpretação energética), obtém-se a forma muito simples
Portanto o módulo da velocidade na cesta é
Substituindo
dá uma expressão só em termos de
:
Observação física: se
então
e a velocidade na chegada pode ser menor que
; a fórmula acima abrange todos os casos (respeitando a condição
).
Resposta
(a)
(b)