1. Um jogador de basquete arremessa uma bola com um ângulo 45^{\circ}. A bola sai das mãos do jogador de uma altura h acima do solo. A cesta encontra-se a uma distância horizontal D das mãos do jogador e a uma altura H acima do solo. A aceleração da gravidade local vale g. Determine (a) o módulo da velocidade de arremesso para que ele consiga acertar a cesta e (b) o módulo da velocidade da bola ao atingir a cesta. Dados: g, h, H e D.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar o módulo da velocidade de arremesso para que a bola atinja a cesta;
  • (b) determinar o módulo da velocidade da bola no instante em que ela passa pela cesta.
Dados relevantes (peguei estes dados do enunciado/figura):
  • aceleração da gravidade: \,g\,;
  • altura das mãos do jogador: \,h\, (altura inicial da bola em relação ao solo);
  • altura da cesta: \,H\, (altura final da bola em relação ao solo);
  • distância horizontal entre mãos e cesta: \,D\,;
  • ângulo de lançamento: \,45^\circ.
Observação importante: todos os símbolos acima ( g,h,H,D) são dados conhecidos do problema e devem ser usados nas fórmulas finais.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e escrever as equações do movimento:
  • tomar a origem no ponto verticalmente abaixo das mãos do jogador, com eixo x horizontal (positiva na direção da cesta) e eixo y vertical (positiva para cima). Assim a posição inicial é \,(x_0,y_0)=(0,h) e a posição da cesta é \,(x,y)=(D,H).
  • decompor a velocidade inicial v_0 em componentes horizontal e vertical. Como o ângulo é \,45^\circ, valem:
v_{0x}=v_0\cos 45^\circ=\frac{v_0}{\sqrt{2}},\qquad v_{0y}=v_0\sin 45^\circ=\frac{v_0}{\sqrt{2}}.
  • movimento horizontal: como não há aceleração horizontal, a posição em x é
x(t)=v_{0x}\,t=\frac{v_0}{\sqrt{2}}\,t.
  • movimento vertical: há aceleração constante -g, então
y(t)=h+v_{0y}\,t-\frac{1}{2}g t^2 = h+\frac{v_0}{\sqrt{2}}\,t-\frac{1}{2}g t^2.

Passo 3

Determinar o instante t em que a bola tem a abscissa x=D:
D=x(t)=\frac{v_0}{\sqrt{2}}\,t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{D\sqrt{2}}{v_0}.
Esse é o tempo que a bola leva para atravessar horizontalmente a distância \,D.

Passo 4

Impor que, nesse instante, a altura seja \,H. Substituir t=\dfrac{D\sqrt{2}}{v_0} em y(t)=H:
H=h+\frac{v_0}{\sqrt{2}}\cdot\frac{D\sqrt{2}}{v_0}-\frac{1}{2}g\left(\frac{D\sqrt{2}}{v_0}\right)^{\!2}.
Simplificar termo a termo:
  • o segundo termo simplifica para D, porque \dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{D\sqrt{2}}{v_0}=D.
  • o terceiro termo é
\frac{1}{2}g\left(\frac{D\sqrt{2}}{v_0}\right)^{\!2} =\frac{1}{2}g\cdot\frac{2D^2}{v_0^2}=g\frac{D^2}{v_0^2}.
Portanto a igualdade fica
H=h+D-g\frac{D^2}{v_0^2}.
Rearranjando para isolar v_0^2:
g\frac{D^2}{v_0^2}=D-(H-h)=D-H+h.
Logo
v_0^2=\frac{gD^2}{D-H+h}.
Tomando raiz positiva (módulo da velocidade inicial):
v_0=\;D\sqrt{\frac{g}{\,D-H+h\,}}.
Condição física: para v_0 real e finito é necessário que o denominador seja positivo, isto é
D-H+h>0.
Se isso não ocorrer, não existe velocidade inicial em ângulo 45^\circ que leve a bola da altura h até a altura H na distância D.

Passo 5

Determinar o módulo da velocidade ao atingir a cesta (instante t já dado em Passo 3).
Componentes da velocidade no instante de impacto:
  • componente horizontal (constante):
v_x(t)=v_{0x}=\frac{v_0}{\sqrt{2}}.
  • componente vertical:
v_y(t)=v_{0y}-g t=\frac{v_0}{\sqrt{2}}-g\cdot\frac{D\sqrt{2}}{v_0} =\frac{v_0}{\sqrt{2}}-\frac{gD\sqrt{2}}{v_0}.
O módulo da velocidade é
v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
Fazendo a conta e simplificando (desenvolvimento passo a passo):
v_x^2=\frac{v_0^2}{2},
v_y^2=\left(\frac{v_0}{\sqrt{2}}-\frac{gD\sqrt{2}}{v_0}\right)^{\!2} =\frac{v_0^2}{2}-2gD+\frac{2g^2D^2}{v_0^2}.
Somando:
v^2=v_x^2+v_y^2 =v_0^2-2gD+\frac{2g^2D^2}{v_0^2}.
Agora usar o valor de v_0^2 encontrado no Passo 4 para simplificar a expressão final. Substituindo v_0^2=\dfrac{gD^2}{D-H+h} e simplificando (ou usando a interpretação energética), obtém-se a forma muito simples
v^2=v_0^2+2g(h-H).
Portanto o módulo da velocidade na cesta é
v=\sqrt{\,v_0^2+2g(h-H)\,}.
Substituindo v_0^2 dá uma expressão só em termos de g,D,h,H:
v=\sqrt{\frac{gD^2}{D-H+h}+2g(h-H)}.
Observação física: se H>h então 2g(h-H)<0 e a velocidade na chegada pode ser menor que v_0; a fórmula acima abrange todos os casos (respeitando a condição D-H+h>0).

Resposta

(a) \displaystyle v_0=D\sqrt{\frac{g}{\,D-H+h\,}}
(b) \displaystyle v=\sqrt{\,v_0^2+2g(h-H)\,}=\sqrt{\frac{gD^2}{D-H+h}+2g(h-H)}

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