Um moleque atira uma pedra para cima na direção vertical, com uma velocidade inicial de
do telhado de um edifício, 30 m acima do chão. (a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o chão. (b) Com que velocidade a pedra atinge o solo. (c) Em que (quais) instante(s) a pedra estará 5 m acima do ponto de lançamento e qual a sua velocidade nesse(s) instante(s)?
20. Um corpo cai da altura de 50 m , partindo do repouso. Quanto ele percorre no último segundo da queda?
20. Um corpo cai da altura de 50 m , partindo do repouso. Quanto ele percorre no último segundo da queda?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos.
Para o primeiro problema (pedra lançada do telhado):
- Dados fornecidos:
- Velocidade inicial:
(para cima). - Altura inicial acima do solo:
. - A aceleração da gravidade será tomada como
(para baixo).
- Velocidade inicial:
- Perguntas:
(a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o chão?
(b) Com que velocidade a pedra atinge o solo?
(c) Em que instante(s) a pedra estaráacima do ponto de lançamento e qual a sua velocidade nesses instante(s)?
Para o segundo problema (questão 20):
- Dados fornecidos:
- Altura inicial:
. - Parte do repouso: velocidade inicial
. - Aceleração da gravidade
.
- Altura inicial:
- Pergunta:
- Quanto ele percorre no último segundo da queda?
Passo 2
Modelagem física e fórmulas essenciais (explicadinha passo a passo).
- Escolho eixo vertical positivo para cima. A pedra tem movimento com aceleração constante
(porque a gravidade aponta para baixo). - A posição vertical
em função do tempo (medida a partir do ponto de lançamento, ou tomando como feito aqui) é dada por:
Explicando cada símbolo:
-
é a altura acima do solo no instante . -
é a altura inicial (aqui ). -
é a velocidade inicial (aqui , positiva para cima). -
é . - A velocidade instantânea é
Isto vem da integração da aceleração constante:
.
Passo 3
Resolver (a): tempo até atingir o chão.
- A pedra atinge o chão quando a altura
. Então colocamos:
- Rearranjando para a forma quadrática padrão:
- A solução dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara (para
, , ) leva à forma mais conveniente
(derivei isso multiplicando a equação por
e aplicando a fórmula quadrática; a raiz com sinal
dá o tempo positivo físico, a outra raiz é negativa e corresponde a um instante antes do lançamento.)
- Substituindo os números:
-
. -
. -
. -
.
-
- Portanto
As duas soluções numéricas são
- O instante físico é o positivo
. (A raiz negativa é descartada.)
Passo 4
Resolver (b): velocidade ao atingir o solo.
- Use a expressão da velocidade
. Substituindo obtido no passo anterior:
- Calculando:
- O sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo; a velocidade escalar (módulo) é cerca de
. - Observação alternativa (mais elegante): a energia cinética ou a relação
(obtida integrando ou pela equação de movimento) dá diretamente
com sentido para baixo.
Passo 5
Resolver (c): instantes em que a pedra está
acima do ponto de lançamento e suas velocidades.
- A altura pedida é
. - Use a equação do movimento e coloque
:
- Subtraindo
e rearranjando:
- Aplicando a fórmula quadrática (ou usando forma reduzida similar à do passo 3), obtemos
pois aqui o termo constante corresponde a
(deslocamento para cima).
- Calculemos:
-
. -
.
-
- Assim
As duas soluções:
- Interpretação física:
é o instante em que a pedra, subindo, alcança acima do lançamento; é quando ela, já descendo, passa novamente por essa mesma altura. - Velocidades nesses instantes usando
: - Em
: (para cima). - Em
: (para baixo).
- Em
- Note que os módulos são iguais (
), como esperado por simetria do movimento.
Passo 6
Agora resolvemos o problema 20 (queda livre de
): tempo total de queda e distância percorrida no último segundo.
- Para um corpo em queda livre a partir do repouso, a distância percorrida até o instante
é
- Para atingir o solo de altura
exige-se
Passo 7
Calcular
e a distância no último segundo.
- Substituindo
e :
- A distância percorrida no último segundo (ou seja, entre
e ) é
- Simplificando a expressão algébrica:
logo
- Substituindo numericamente
:
- (Verificação alternativa: velocidade no final
, velocidade um segundo antes , distância no último segundo é a média aritmética dessas velocidades vezes : , consistente.)
Resposta
(a)
(b) (ou seja,
para baixo)
(c) com
(subindo)
com
(descendo)
Questão 20:
(b)
(c)
Questão 20: