Não confunda velocidade média com a média de um conjunto de velocidades (média das velocidades). Calcule a velocidade média de uma atleta nos seguintes casos:
A atleta anda 2 minutos com velocidade de
e a seguir corre durante 3 minutos com velocidade de
ao longo de um caminho em linha reta.
A atleta anda 2 minutos com velocidade de
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- O enunciado pede a velocidade média da atleta ao longo de todo o percurso (ou seja, deslocamento total dividido pelo tempo total).
- Dados fornecidos:
- A atleta anda durante
com velocidade . - Em seguida corre durante
com velocidade . - O movimento é ao longo de um caminho em linha reta (mesma direção), logo os deslocamentos podem ser somados diretamente.
- A atleta anda durante
- Observação importante que vou usar depois: não confundir velocidade média com a média aritmética simples das velocidades.
Passo 2
Conceito e fórmula da velocidade média (explicação didática).
- Definição: a velocidade média é a razão entre o deslocamento total e o tempo total. Em símbolos:
- O que cada símbolo significa:
-
é a velocidade média procurada. -
é o deslocamento total (soma dos deslocamentos de cada trecho, porque o movimento é em linha reta e no mesmo sentido). -
é o tempo total gasto (soma dos tempos de cada trecho).
-
- Por que isso difere da média aritmética das velocidades? A média aritmética das velocidades seria
que só coincide com
quando os tempos em cada trecho são iguais. Aqui os tempos são diferentes (
e
), então não devemos usar a média aritmética.
Passo 3
Converter os tempos para uma unidade consistente (segundos) — passo prático necessário para calcular deslocamentos.
- Converter minutes para segundos:
-
. -
.
-
- Em notação:
-
. -
.
-
Passo 4
Calcular os deslocamentos em cada trecho usando
(a fórmula do deslocamento em movimento com velocidade constante).
- Explicação da fórmula: se a velocidade é constante
e o tempo gasto é , o deslocamento é . Aqui aplicamos para cada trecho. - Primeiro trecho (andar):
-
, . -
- Calculemos:
. Logo
-
- Segundo trecho (correr):
-
, . -
- Calculemos:
. Logo
-
Passo 5
Calcular deslocamento total e tempo total.
- Deslocamento total:
- Tempo total:
Passo 6
Calcular a velocidade média aplicando a fórmula e simplificando o número passo a passo.
- Fórmula:
- Simplificando a fração:
- Dividindo numerador e denominador por
: . - Dividindo por
: . -
- Dividindo numerador e denominador por
- Portanto,
Passo 7
Comentário final didático e comparação com a média aritmética (para fixar a ideia).
- Se alguém calcular a média aritmética das duas velocidades obtém
que é diferente de
. Isso mostra por que não se pode usar a média simples quando os tempos nos trechos são diferentes: a velocidade do segundo trecho tem maior peso porque o tempo nesse trecho é maior (
contra
).