Não confunda velocidade média com a média de um conjunto de velocidades (média das velocidades). Calcule a velocidade média de uma atleta nos seguintes casos:
A atleta anda 2 minutos com velocidade de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a seguir corre durante 3 minutos com velocidade de 4,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao longo de um caminho em linha reta.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • O enunciado pede a velocidade média da atleta ao longo de todo o percurso (ou seja, deslocamento total dividido pelo tempo total).
  • Dados fornecidos:
    • A atleta anda durante 2\\ \text{min} com velocidade 1,5\\ \mathrm{m/s}.
    • Em seguida corre durante 3\\ \text{min} com velocidade 4,5\\ \mathrm{m/s}.
    • O movimento é ao longo de um caminho em linha reta (mesma direção), logo os deslocamentos podem ser somados diretamente.
  • Observação importante que vou usar depois: não confundir velocidade média com a média aritmética simples das velocidades.

Passo 2

Conceito e fórmula da velocidade média (explicação didática).
  • Definição: a velocidade média é a razão entre o deslocamento total e o tempo total. Em símbolos:
\bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t}.
  • O que cada símbolo significa:
    • \bar v é a velocidade média procurada.
    • \Delta x é o deslocamento total (soma dos deslocamentos de cada trecho, porque o movimento é em linha reta e no mesmo sentido).
    • \Delta t é o tempo total gasto (soma dos tempos de cada trecho).
  • Por que isso difere da média aritmética das velocidades? A média aritmética das velocidades seria
v_{\text{média aritm}}=\frac{v_1+v_2}{2},é
que só coincide com \bar v quando os tempos em cada trecho são iguais. Aqui os tempos são diferentes ( 2\\ \text{min} e 3\\ \text{min}), então não devemos usar a média aritmética.

Passo 3

Converter os tempos para uma unidade consistente (segundos) — passo prático necessário para calcular deslocamentos.
  • Converter minutes para segundos:
    • 2\\ \text{min} = 2\cdot 60 = 120\\ \text{s}.
    • 3\\ \text{min} = 3\cdot 60 = 180\\ \text{s}.
  • Em notação:
    • t_1 = 120\\ \text{s}.
    • t_2 = 180\\ \text{s}.

Passo 4

Calcular os deslocamentos em cada trecho usando d = v\cdot t (a fórmula do deslocamento em movimento com velocidade constante).
  • Explicação da fórmula: se a velocidade é constante v e o tempo gasto é t, o deslocamento é d=v\cdot t. Aqui aplicamos para cada trecho.
  • Primeiro trecho (andar):
    • v_1 = 1,5\\ \mathrm{m/s}, t_1 = 120\\ \text{s}.
    • d_1 = v_1\cdot t_1 = 1,5\cdot 120\\ \mathrm{m}.
    • Calculemos: 1,5\cdot 120 = 1,5\cdot(12\cdot 10)=18\cdot 10=180. Logo
    d_1 = 180\\ \mathrm{m}.
  • Segundo trecho (correr):
    • v_2 = 4,5\\ \mathrm{m/s}, t_2 = 180\\ \text{s}.
    • d_2 = v_2\cdot t_2 = 4,5\cdot 180\\ \mathrm{m}.
    • Calculemos: 4,5\cdot 180 = 4,5\cdot(18\cdot 10)=81\cdot 10=810. Logo
    d_2 = 810\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular deslocamento total e tempo total.
  • Deslocamento total:
\Delta x = d_1 + d_2 = 180 + 810 = 990\\ \mathrm{m}.
  • Tempo total:
\Delta t = t_1 + t_2 = 120 + 180 = 300\\ \text{s}.

Passo 6

Calcular a velocidade média aplicando a fórmula e simplificando o número passo a passo.
  • Fórmula:
\bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{990}{300}\\ \mathrm{m/s}.
  • Simplificando a fração:
    • Dividindo numerador e denominador por 10: \frac{990}{300}=\frac{99}{30}.
    • Dividindo por 3: \frac{99}{30}=\frac{33}{10}.
    • \frac{33}{10}=3,3.
  • Portanto,
\bar v = 3,3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Comentário final didático e comparação com a média aritmética (para fixar a ideia).
  • Se alguém calcular a média aritmética das duas velocidades obtém
\frac{1,5+4,5}{2}=\frac{6}{2}=3,0\\ \mathrm{m/s},
que é diferente de \bar v=3,3\\ \mathrm{m/s}. Isso mostra por que não se pode usar a média simples quando os tempos nos trechos são diferentes: a velocidade do segundo trecho tem maior peso porque o tempo nesse trecho é maior ( 3\\ \text{min} contra 2\\ \text{min}).

Resposta

\,3,3\\ \mathrm{m/s}

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