Um jogador de boliche lança a bola de raio
cm na pista com velocidade inicial
m/s. A bola é lançada de modo que ela derrape num pequeno trecho antes de começar a rolar. No momento em que ela toca a pista, o movimento é de translação pura e o coeficiente de atrito dinâmico entre a bola e a pista é de 0,210. (a) Durante que intervalo de tempo, a bola derrapará? (Dica: enquanto a bola derrapa, sua velocidade
diminui e sua velocidade angular
aumenta; a derrapagem cessa quando
).(b) Qual é a distância percorrida durante a derrapagem? © Quantas voltas a bola dá antes de começar o rolamento puro? (d) Qual é a velocidade da bola quando começa a rolar?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de uma bola de boliche que está derrapando na pista antes de começar a rolar. A gente vai usar conceitos de cinemática e dinâmica rotacional. Vamos precisar das fórmulas de aceleração linear e angular, além de entender como o atrito afeta esses movimentos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A bola é lançada com uma velocidade inicial $ v_0 = 8,50 , m/s $ e está derrapando, ou seja, sua velocidade de translação está diminuindo enquanto sua velocidade de rotação está aumentando devido ao atrito com a pista. O atrito dinâmico tem coeficiente $ \mu = 0,210 $. A derrapagem para quando $ v = R \omega $, onde $ R = 0,11 , m $ é o raio da bola.
Passo 3
Vamos calcular a aceleração linear $ a $ da bola devido ao atrito. A força de atrito $ F $ que age contra o movimento é dada por:
onde $ m $ é a massa da bola e $ g = 9,81 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade. A aceleração linear é:
Então, a reta para a velocidade da bola é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a aceleração angular $ \alpha $ da bola. O torque $ \tau $ causado pelo atrito é:
O momento de inércia $ I $ para uma esfera sólida é:
Então, a aceleração angular é:
A velocidade angular com o tempo fica:
(Lembrando que inicialmente $ \omega_0 = 0 $ porque a bola estava apenas derrapando)
Passo 5
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando a derrapagem termina, ou seja, quando $ v = R \omega $. Substituindo as expressões que temos:
Simplificando:
Resolvendo para $ t $:
Resposta
Substituindo os valores:
Então, o intervalo de tempo durante o qual a bola derrapa é de aproximadamente 1,19 segundos.