Um jogador chuta uma bola de futebol com velocidade inicial cuja componente vertical é
e a componente horizontal é
. Despreze a resistência do ar. a) determine o módulo do vetor velocidade inicial
e o ângulo inicial
que
faz com o eixo x . b) quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória? c) qual a altura desse ponto? d) quanto tempo a bola leva (desde o momento do chute inicial) até o instante em que ela retorna ao mesmo nível inicial? (não pressuponha nada que não possa mostrar na resolução) e) que distância horizontal ela percorreu durante esse tempo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre o movimento de um projétil, que no caso é uma bola de futebol chutada. A gente tem a componente vertical da velocidade inicial (
) e a componente horizontal (
). Vamos precisar de conceitos de vetores, trigonometria e cinemática para analisar o movimento da bola. Vamos por partes, respondendo cada letra do exercício.
Passo 2
a) Determinar o módulo do vetor velocidade inicial
e o ângulo inicial
que
faz com o eixo x.
Primeiro, vamos encontrar o módulo da velocidade inicial. A velocidade inicial é um vetor com componentes horizontal e vertical. Para achar o módulo, usamos o teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Agora, vamos encontrar o ângulo
que a velocidade inicial faz com o eixo x. Usamos a função tangente, que relaciona as componentes vertical e horizontal:
Passo 3
b) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória?
No ponto mais alto da trajetória, a componente vertical da velocidade é zero. Vamos usar a seguinte equação da cinemática:
Onde:
-
é a velocidade final na direção y (0 m/s no ponto mais alto). -
é a velocidade inicial na direção y (12,0 m/s). -
é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente ). -
é o tempo.
Rearranjando para encontrar o tempo:
Passo 4
c) Qual a altura desse ponto?
Vamos calcular a altura máxima usando a seguinte equação:
Já encontramos
.
Substituindo:
Passo 5
d) Quanto tempo a bola leva (desde o momento do chute inicial) até o instante em que ela retorna ao mesmo nível inicial?
O tempo total de voo é o dobro do tempo que leva para atingir a altura máxima (porque o tempo de subida é igual ao tempo de descida em movimento uniforme bidimensional sem resistência do ar).
Então:
Passo 6
e) Que distância horizontal ela percorreu durante esse tempo?
A distância horizontal (
) é dada pela velocidade horizontal multiplicada pelo tempo total de voo:
Substituindo os valores:
Resposta
a) O módulo da velocidade inicial é aproximadamente
e o ângulo inicial é cerca de
com o eixo x.
b) A bola leva aproximadamente
para atingir a altura máxima.
c) A altura máxima alcançada é de aproximadamente
.
d) O tempo total de voo até a bola retornar ao mesmo nível inicial é de aproximadamente
.
e) A distância horizontal percorrida pela bola durante esse tempo é de aproximadamente
.