Um jogador chuta uma bola de futebol com velocidade inicial cuja componente vertical é v0 y=12,0 m / s e a componente horizontal é v0 x=20,0 m / s. Despreze a resistência do ar. a) determine o módulo do vetor velocidade inicial vo e o ângulo inicial thetao que vo faz com o eixo x . b) quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória? c) qual a altura desse ponto? d) quanto tempo a bola leva (desde o momento do chute inicial) até o instante em que ela retorna ao mesmo nível inicial? (não pressuponha nada que não possa mostrar na resolução) e) que distância horizontal ela percorreu durante esse tempo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre o movimento de um projétil, que no caso é uma bola de futebol chutada. A gente tem a componente vertical da velocidade inicial ( v0y = 12,0 , m/s) e a componente horizontal ( v0x = 20,0 , m/s). Vamos precisar de conceitos de vetores, trigonometria e cinemática para analisar o movimento da bola. Vamos por partes, respondendo cada letra do exercício.

Passo 2

a) Determinar o módulo do vetor velocidade inicial vo e o ângulo inicial thetao que vo faz com o eixo x.
Primeiro, vamos encontrar o módulo da velocidade inicial. A velocidade inicial é um vetor com componentes horizontal e vertical. Para achar o módulo, usamos o teorema de Pitágoras:
vo = raizv0x^2 + v0y^2
Substituindo os valores:
vo = raiz(20,0)^2 + (12,0)^2 = raiz400 + 144 = raiz544 approx 23,32 , m/s
Agora, vamos encontrar o ângulo thetao que a velocidade inicial faz com o eixo x. Usamos a função tangente, que relaciona as componentes vertical e horizontal:
tanthetao = v0yv0x Rightarrow thetao = arctan(12,020,0) approx arctan(0,6) approx 30,96^circ

Passo 3

b) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória?
No ponto mais alto da trajetória, a componente vertical da velocidade é zero. Vamos usar a seguinte equação da cinemática:
vyf = v0y - g cdot t
Onde:
  • vyf é a velocidade final na direção y (0 m/s no ponto mais alto).
  • v0y é a velocidade inicial na direção y (12,0 m/s).
  • g é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente 9,8 , m/s^2).
  • t é o tempo.
Rearranjando para encontrar o tempo:
0 = 12,0 - 9,8 cdot t Rightarrow t = 12,09,8 approx 1,22 , s

Passo 4

c) Qual a altura desse ponto?
Vamos calcular a altura máxima usando a seguinte equação:
h = v0y cdot t - 12 g cdot t^2
Já encontramos t = 1,22 , s.
Substituindo:
h = 12,0 cdot 1,22 - 12 cdot 9,8 cdot (1,22)^2 approx 14,64 - 7,29 approx 7,35 , m

Passo 5

d) Quanto tempo a bola leva (desde o momento do chute inicial) até o instante em que ela retorna ao mesmo nível inicial?
O tempo total de voo é o dobro do tempo que leva para atingir a altura máxima (porque o tempo de subida é igual ao tempo de descida em movimento uniforme bidimensional sem resistência do ar).
Então:
ttotal = 2 cdot tsubida = 2 cdot 1,22 approx 2,44 , s

Passo 6

e) Que distância horizontal ela percorreu durante esse tempo?
A distância horizontal ( d) é dada pela velocidade horizontal multiplicada pelo tempo total de voo:
d = v0x cdot ttotal
Substituindo os valores:
d = 20,0 , m/s cdot 2,44 , s approx 48,8 , m

Resposta

a) O módulo da velocidade inicial é aproximadamente 23,32 , m/s e o ângulo inicial é cerca de 30,96^circ com o eixo x.
b) A bola leva aproximadamente 1,22 , s para atingir a altura máxima.
c) A altura máxima alcançada é de aproximadamente 7,35 , m.
d) O tempo total de voo até a bola retornar ao mesmo nível inicial é de aproximadamente 2,44 , s.
e) A distância horizontal percorrida pela bola durante esse tempo é de aproximadamente 48,8 , m.

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