Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada é aproximadamente quanto?
Passo 1
Tudo bem, vamos lá! Temos um jogador de futebol que chuta a bola a 30 metros do gol. A bola faz uma trajetória em forma de parábola, passa acima da trave a 3 metros do chão e finalmente cai a 40 metros de onde foi chutada. Nosso objetivo é descobrir qual foi a altura máxima que a bola atingiu durante esse trajeto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trajetórias parabólicas e equações do segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos modelar a trajetória da bola usando uma equação quadrática. Podemos representar a altura
da bola em função da distância horizontal
percorrida com a seguinte fórmula:
Sabemos que no ponto de chute, quando
, a altura
(a bola está no chão). Então:
Assim, a equação fica:
Passo 3
Também sabemos que a bola cai a 40 metros de distância, ou seja, quando
,
. Substituindo esses valores na equação:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 40:
Passo 4
Além disso, no ponto onde a bola cruza a linha do gol, a 30 metros, a altura
metros. Então, substituindo
e
na equação:
Substituindo
por
da equação anterior:
Passo 5
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a relação
:
Então, a equação da trajetória fica:
Passo 6
Para encontrar a altura máxima, precisamos descobrir o vértice da parábola. A posição
do vértice é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Isso significa que a altura máxima ocorre quando a bola está a 20 metros do ponto de chute.
Passo 7
Agora, substituímos
na equação da trajetória para encontrar a altura máxima
:
Resposta
A altura máxima que a bola alcançou foi aproximadamente 4 metros.