Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada é aproximadamente quanto?

Passo 1

Tudo bem, vamos lá! Temos um jogador de futebol que chuta a bola a 30 metros do gol. A bola faz uma trajetória em forma de parábola, passa acima da trave a 3 metros do chão e finalmente cai a 40 metros de onde foi chutada. Nosso objetivo é descobrir qual foi a altura máxima que a bola atingiu durante esse trajeto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trajetórias parabólicas e equações do segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar a trajetória da bola usando uma equação quadrática. Podemos representar a altura y da bola em função da distância horizontal x percorrida com a seguinte fórmula:
y(x) = ax^2 + bx + c
Sabemos que no ponto de chute, quando x = 0 , a altura y = 0 (a bola está no chão). Então:
y(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 0 Rightarrow c = 0
Assim, a equação fica:
y(x) = ax^2 + bx

Passo 3

Também sabemos que a bola cai a 40 metros de distância, ou seja, quando x = 40 , y = 0 . Substituindo esses valores na equação:
0 = a(40)^2 + b(40)
0 = 1600a + 40b
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 40:
0 = 40a + b
b = -40a

Passo 4

Além disso, no ponto onde a bola cruza a linha do gol, a 30 metros, a altura y = 3 metros. Então, substituindo x = 30 e y = 3 na equação:
3 = a(30)^2 + b(30)
3 = 900a + 30b
Substituindo b por -40a da equação anterior:
3 = 900a + 30(-40a)
3 = 900a - 1200a
3 = -300a
a = -3300
a = -0,01

Passo 5

Agora que encontramos a = -0,01 , vamos encontrar b usando a relação b = -40a :
b = -40(-0,01)
b = 0,4
Então, a equação da trajetória fica:
y(x) = -0,01x^2 + 0,4x

Passo 6

Para encontrar a altura máxima, precisamos descobrir o vértice da parábola. A posição x do vértice é dada por:
xv = -b2a
Substituindo os valores de a e b :
xv = -0,42(-0,01)
xv = -0,4-0,02
xv = 20
Isso significa que a altura máxima ocorre quando a bola está a 20 metros do ponto de chute.

Passo 7

Agora, substituímos x = 20 na equação da trajetória para encontrar a altura máxima y :
y(20) = -0,01(20)^2 + 0,4(20)
y(20) = -0,01(400) + 8
y(20) = -4 + 8
y(20) = 4

Resposta

A altura máxima que a bola alcançou foi aproximadamente 4 metros.

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