Um jogador de futebol chuta uma bola de maneira que ela possui um tempo de vôo de
e toca o solo a uma distância de
. Se a bola deixa o pé do jogador exatamente na altura do solo 0 cm , qual é a velocidade inicial (em termos de vetores unitários)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis no futebol! A gente tem que descobrir a velocidade inicial da bola quando ela é chutada. Pra isso, vamos usar conceitos de física sobre movimento horizontal e vertical de projéteis. Precisamos entender como calcular a velocidade inicial a partir do tempo de voo e da distância que a bola percorreu.
Passo 2
Primeiro, vamos separar o movimento da bola em duas partes: horizontal e vertical. Na direção horizontal, a bola não sofre aceleração (ignora o atrito do ar), então a velocidade horizontal permanece constante. Na direção vertical, a bola sofre a aceleração da gravidade.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade horizontal (
). Sabemos que a distância horizontal (
) é 45,7 metros e o tempo de voo (
) é 4,5 segundos. A fórmula para a distância horizontal é:
Então, isolando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade vertical inicial (
). Como a bola parte do solo e retorna ao mesmo ponto, o tempo total de voo é duas vezes o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima. A fórmula para o tempo até o pico é:
Onde
(aceleração da gravidade). Sabendo que o tempo total é 4,5 segundos:
Isolando
:
Passo 5
Agora que temos as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial, podemos expressar a velocidade inicial como um vetor usando vetores unitários $ \mathbf{i} $ e $ \mathbf{j} $:
Resposta
A velocidade inicial da bola é $ \vec{v}_0 = 10{,}16, \mathrm{m/s} , \mathbf{i} + 22{,}05, \mathrm{m/s} , \mathbf{j} $.