Um jogador de futebol chuta uma bola de maneira que ela possui um tempo de vôo de 4,5 s e toca o solo a uma distância de 45,7 m. Se a bola deixa o pé do jogador exatamente na altura do solo 0 cm , qual é a velocidade inicial (em termos de vetores unitários)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis no futebol! A gente tem que descobrir a velocidade inicial da bola quando ela é chutada. Pra isso, vamos usar conceitos de física sobre movimento horizontal e vertical de projéteis. Precisamos entender como calcular a velocidade inicial a partir do tempo de voo e da distância que a bola percorreu.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o movimento da bola em duas partes: horizontal e vertical. Na direção horizontal, a bola não sofre aceleração (ignora o atrito do ar), então a velocidade horizontal permanece constante. Na direção vertical, a bola sofre a aceleração da gravidade.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade horizontal ( vx). Sabemos que a distância horizontal ( x) é 45,7 metros e o tempo de voo ( t) é 4,5 segundos. A fórmula para a distância horizontal é:
x = vx times t
Então, isolando vx:
vx = xt = 45,7, m4,5, s approx 10,16, m/s

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade vertical inicial ( vy). Como a bola parte do solo e retorna ao mesmo ponto, o tempo total de voo é duas vezes o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima. A fórmula para o tempo até o pico é:
tpico = vyg
Onde g = 9,8, m/s^2 (aceleração da gravidade). Sabendo que o tempo total é 4,5 segundos:
tpico = 4,5, s2 = 2,25, s
Isolando vy:
vy = g times tpico = 9,8, m/s^2 times 2,25, s = 22,05, m/s

Passo 5

Agora que temos as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial, podemos expressar a velocidade inicial como um vetor usando vetores unitários $ \mathbf{i} $ e $ \mathbf{j} $:
i

Resposta

A velocidade inicial da bola é $ \vec{v}_0 = 10{,}16, \mathrm{m/s} , \mathbf{i} + 22{,}05, \mathrm{m/s} , \mathbf{j} $.

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