Um jogador de futebol chuta uma bola do topo de uma colina de 25 metros de altura, com uma velocidade de 72 km / h a um ângulo de 30 circ com a horizontal. Considere g=10 m / s^2
0,6
Quanto tempo a bola leva para atingir o solo?

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um jogador de futebol que chuta uma bola do topo de uma colina com 25 metros de altura. A bola é lançada com uma velocidade de 72 , km/h formando um ângulo de 30^circ com a horizontal. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo a bola leva para atingir o solo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento de projéteis e cinemática.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade de 72 , km/h para metros por segundo, pois as unidades de altura e aceleração da gravidade estão em metros e segundos. Sabemos que:
1 , km/h = 1000 , m3600 , s approx 0,2778 , m/s
Então,
72 , km/h = 72 times 0,2778 , m/s approx 20 , m/s

Passo 3

Agora, vamos decompor a velocidade inicial nos componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y). A fórmula para isso é:
v0x = v0 cos(theta)
v0y = v0 sin(theta)
Onde v0 = 20 , m/s e theta = 30^circ.
Calculando:
v0x = 20 cos(30^circ) = 20 times raiz32 approx 17,32 , m/s
v0y = 20 sin(30^circ) = 20 times 12 = 10 , m/s

Passo 4

Vamos focar no movimento vertical para encontrar o tempo que a bola leva para atingir o solo. A equação da posição vertical em função do tempo é:
y(t) = y0 + v0y t - 12 g t^2
Onde:
  • y(t) é a altura no tempo t,
  • y0 = 25 , m é a altura inicial,
  • v0y = 10 , m/s,
  • g = 10 , m/s^2 é a aceleração da gravidade.
Queremos achar o tempo t quando a bola atinge o solo, ou seja, quando y(t) = 0.

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
0 = 25 + 10 t - 5 t^2
Rearranjando:
5 t^2 - 10 t - 25 = 0
Dividindo todos os termos por 5:
t^2 - 2 t - 5 = 0
Agora, usamos a fórmula quadrática para resolver para t:
t = 2 pm raiz(2)^2 - 4 times 1 times (-5)2 times 1 = 2 pm raiz4 + 202 = 2 pm raiz242 = 2 pm 2raiz62 = 1 pm raiz6
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
t = 1 + raiz6 approx 1 + 2,45 = 3,45 , s

Resposta

A bola leva aproximadamente 3,45 segundos para atingir o solo.

Exercícios relacionados