Um motor térmico baseado em um gás ideal diatômico opera em ciclo de acordo com os seguintes processos, a partir do estado inicial com pressão 2,9 atm e volume 16,7 litros:
  1. expansão isobárica até o dobro do volume,
  2. expansão adiabática,
  3. compressão isotérmica até o estado inicial.
    Calcule o rendimento da máquina (o qual é menor que 1!). Gás diatômico: cp / cv=7 / 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de termodinâmica envolvendo um motor térmico que trabalha com um gás ideal diatômico. O ciclo operacional desse motor passa por três processos: expansão isobárica, expansão adiabática e compressão isotérmica, começando com uma pressão de 2,9 atm e volume de 16,7 litros. Nosso objetivo aqui é calcular o rendimento dessa máquina, que sabemos que é menor que 1. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de processos termodinâmicos, leis dos gases ideais e como calcular trabalho e calor nesses processos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o processo de expansão isobárica. “Isobárico” significa que a pressão permanece constante durante a expansão. No enunciado, diz que o volume dobra nessa etapa.
Sabemos que a pressão inicial $ P_1 $ é 2,9 atm e o volume inicial $ V_1 $ é 16,7 litros. Como o volume dobra, o volume final $ V_2 $ será:
P1
Como a pressão é constante, podemos usar a lei dos gases ideais para encontrar a temperatura inicial e final desse processo.
A lei dos gases ideais é dada por:
V1
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ V $ é o volume,
  • $ n $ é a quantidade de matéria,
  • $ R $ é a constante dos gases,
  • $ T $ é a temperatura.
No processo isobárico, como $ P $ é constante e $ V $ dobra, a temperatura também dobra:
V2
Isso nos ajuda a entender como a energia térmica está sendo transferida durante esse processo.

Passo 3

Agora, vamos para a expansão adiabática. “Adiabática” significa que não há troca de calor com o ambiente ($ Q = 0 $). Nesse processo, o gás faz trabalho ao expandir, o que resulta em uma diminuição da sua temperatura.
Para um processo adiabático em um gás ideal, a relação entre pressão e volume é dada por:
Q = 0
Onde $ \gamma = \frac{c_p}{c_v} = \frac{7}{5} = 1,4 $.
Sabemos que no ponto anterior ($ P_2 $, $ V_2 $, $ T_2 PV^gamma = constante óãáó P_3 $, $ V_3 $, $ T_3 $) após a expansão adiabática.
Usando a relação adiabática:
gamma = cpcv = 75 = 1,4
Como não temos o volume final $ V_3 $ especificado, precisamos de mais informações ou relações para prosseguir. Contudo, como o ciclo retorna ao estado inicial após a compressão isotérmica, podemos utilizar essa condição para encontrar os valores necessários.

Passo 4

Passando para a compressão isotérmica, onde a temperatura permanece constante durante todo o processo. Sabemos que o ciclo volta ao estado inicial, então após essa compressão, chegamos de volta a $ P_1 $ e $ V_1 $.
Em uma compressão isotérmica, a relação entre pressão e volume é dada por:
P1
Como a temperatura é constante e estamos retornando ao estado inicial, podemos usar essa condição para relacionar as mudanças nos outros estados do ciclo.
Combinando os processos, podemos estabelecer equações que nos permitem resolver para as variáveis desconhecidas, como $ P_3 $ e $ V_3 $.

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho realizado em cada processo e o calor trocado.
  1. Expansão Isobárica:
    O trabalho realizado ($ W_1 $) é dado por:
    W1
    O calor absorvido ($ Q_1 $) é:
    W1 = P De
  2. Expansão Adiabática:
    Como é adiabática, $ Q_2 = 0 Q1 W_2 $) pode ser calculado usando:
    Q1 = n cp De
  3. Compressão Isotérmica:
    O trabalho realizado ($ W_3 $) é:
    Q2 = 0
    O calor liberado ($ Q_3 $) é igual a $ -W_3 $ (pois $ \Delta U = 0 $ em processos isotérmicos para gases ideais).
O trabalho líquido ($ W_{líquido} $) é a soma dos trabalhos:
W2 í
O calor total absorvido ($ Q_{absorvido} $) é apenas $ Q_1 $, já que os outros processos não absorvem calor.

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o rendimento ($ \eta $) do motor térmico, que é dado por:
eta í
Substituindo os valores calculados nos passos anteriores, teremos a eficiência do motor.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, o rendimento da máquina térmica é de aproximadamente 40%.

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