Um jogador tem
de probabilidade de ganhar um jogo. Na realização de 20 partidas, determinar a probabilidade de esse jogador vencer:
b) mais de 15 partidas.
b) mais de 15 partidas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um jogador que tem uma probabilidade de
de ganhar cada partida. Ele vai jogar 20 partidas no total. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade desse jogador ganhar mais de 15 partidas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades em situações de sucesso ou fracasso em um número fixo de tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos:
- Número fixo de tentativas (
) – aqui, 20 partidas. - Cada tentativa tem dois resultados possíveis: sucesso (ganhar) ou fracasso (perder).
- A probabilidade de sucesso (
) é constante – aqui, .
A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter sucessos em tentativas. -
é o número de sucessos que queremos calcular a probabilidade.
Passo 3
Queremos saber a probabilidade de ganhar mais de 15 partidas, ou seja, ganhar 16, 17, 18, 19 ou 20 partidas. Vamos calcular cada uma dessas probabilidades individualmente e depois somar todas elas.
Passo 4
Vamos começar calculando para
:
Calculando o coeficiente binomial:
Então:
Passo 5
Fazendo o mesmo para
:
Passo 6
Para
:
Passo 7
Para
:
Passo 8
E por fim, para
:
Passo 9
Agora, somamos todas essas probabilidades:
Calculando cada termo e somando, obtemos a probabilidade total.
Resposta
A probabilidade de o jogador ganhar mais de 15 partidas em 20 é aproximadamente 1,17%.