Um jogador tem 5 / 12 de probabilidade de ganhar um jogo. Na realização de 20 partidas, determinar a probabilidade de esse jogador vencer:
b) mais de 15 partidas. R: 1 , 1 7 %

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um jogador que tem uma probabilidade de 512 de ganhar cada partida. Ele vai jogar 20 partidas no total. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade desse jogador ganhar mais de 15 partidas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades em situações de sucesso ou fracasso em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos:
  • Número fixo de tentativas ( n) – aqui, 20 partidas.
  • Cada tentativa tem dois resultados possíveis: sucesso (ganhar) ou fracasso (perder).
  • A probabilidade de sucesso ( p) é constante – aqui, 512.
A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter k sucessos em n tentativas.
  • k é o número de sucessos que queremos calcular a probabilidade.

Passo 3

Queremos saber a probabilidade de ganhar mais de 15 partidas, ou seja, ganhar 16, 17, 18, 19 ou 20 partidas. Vamos calcular cada uma dessas probabilidades individualmente e depois somar todas elas.

Passo 4

Vamos começar calculando para k = 16:
P(16) = binom2016 (512)^16 (712)^4
Calculando o coeficiente binomial:
binom2016 = binom204 = 20!4! cdot 16! = 4845
Então:
P(16) = 4845 times (512)^16 times (712)^4

Passo 5

Fazendo o mesmo para k = 17:
P(17) = binom2017 (512)^17 (712)^3
binom2017 = binom203 = 20!3! cdot 17! = 1140
P(17) = 1140 times (512)^17 times (712)^3

Passo 6

Para k = 18:
P(18) = binom2018 (512)^18 (712)^2
binom2018 = binom202 = 20!2! cdot 18! = 190
P(18) = 190 times (512)^18 times (712)^2

Passo 7

Para k = 19:
P(19) = binom2019 (512)^19 (712)^1
binom2019 = binom201 = 20
P(19) = 20 times (512)^19 times (712)

Passo 8

E por fim, para k = 20:
P(20) = binom2020 (512)^20 (712)^0
binom2020 = 1
P(20) = 1 times (512)^20

Passo 9

Agora, somamos todas essas probabilidades:
P(mais de 15) = P(16) + P(17) + P(18) + P(19) + P(20)
Calculando cada termo e somando, obtemos a probabilidade total.

Resposta

A probabilidade de o jogador ganhar mais de 15 partidas em 20 é aproximadamente 1,17%.

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