Jogando no bet365 do campeonato brasileiro, você fez uma dívida de \mathrm{R} \ 2500,00$ que agora devera honrar. Ao procurar um trabalho, o empregador lhe diz que pode pagar por seu trabalho em moedas de cinquenta centavos de dolar americano, lhe fazendo a seguinte proposta:
  1. Pagar fazendo uma coluna de moedas equivalente a sua altura.
  2. Pagar o equivalente de seu peso em moedas.
Você deve fazer as contas para saber qual das duas proposta é mais vantajosa, para liquidar sua divida. Expresse seu peso em quilogramas (kg) e sua altura em centímetros. Utilize em todos seus cálculos o método dos fatores unitários. Expresse seus resultados usando o número de algarismos significativos corretos.
  • Mostre todos os fatores unitários necessários para obter a resposta correta.
  • Qual proposta é mais favorável para pagar sua divida?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente o que comparar:
  • Dívida: \mathrm{R}\$\;2500,00.
  • Moeda de pagamento oferecida: moeda de cinquenta centavos de dólar americano (cada moeda vale \$0,50).
  • Duas propostas do empregador:
    1. Pagar fazendo uma coluna de moedas com altura igual à sua altura.
    2. Pagar o equivalente do seu peso em moedas (ou seja, tantas moedas que somem o seu peso corporal).
  • Instrução do exercício: devo usar o método dos fatores unitários e mostrar todos os fatores unitários; apresentar respostas com algarismos significativos corretos; apresentar peso em quilogramas e altura em centímetros.
Informações que não foram fornecidas no enunciado (e que são necessárias para calcular números concretos):
  • Seu peso numérico (vou chamar de W, em \mathrm{kg}).
  • Sua altura numérica (vou chamar de H, em \mathrm{cm}).
  • (Não é preciso saber a cotação do dólar para decidir qual proposta entrega MAIS DINHEIRO em número de moedas, porque ambas usam a mesma moeda; para comparar se o valor cobre a dívida em reais precisamos da cotação, que não foi dada.)
O que farei:
  • Vou derivar fórmulas gerais (em função de W e H) usando o método de fatores unitários, mostrar como comparar as duas propostas sem precisar da cotação do dólar e fornecer um exemplo numérico completo (assumindo valores razoáveis para peso e altura) para ilustrar o cálculo passo a passo.
  • Assumo características físicas da moeda de meio-dólar (metadados de moeda): massa \,11,34\\ \mathrm{g} e espessura \,2,15\\ \mathrm{mm}. Essas são especificações típicas da moeda “half dollar” atual. Vou mostrar explicitamente os fatores de conversão usados.

Passo 2

Breve aula (rápida e prática) sobre o método dos fatores unitários:
  • O método dos fatores unitários transforma unidades multiplicando por frações que valem 1 (por ex. \dfrac{1\\ \mathrm{cm}}{10\\ \mathrm{mm}}=1). Isso permite cancelar unidades até obter a unidade desejada.
  • Em multiplicações/divisões que envolvem medidas, o número de algarismos significativos do resultado deve ser o mínimo de algarismos significativos das grandezas usadas na operação.
  • Vou sempre escrever cada conversão como um produto de fatores unitários, cancelando unidades passo a passo.
Constantes físicas (valores assumidos e suas unidades; todos os números matemáticos abaixo estarão em ambientes matemáticos):
  • Valor de cada moeda: \$0,50 (duas casas decimais, 2 algarismos significativos).
  • Espessura da moeda: t = 2,15\\ \mathrm{mm}.
  • Massa da moeda: m = 11,34\\ \mathrm{g}.
Conversões básicas que vamos usar (fatores unitários):
1\\ \mathrm{cm} = 10\\ \mathrm{mm},\qquad 1\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}.

Passo 3

Número de moedas necessárias para fazer uma coluna com a sua altura H (em \mathrm{cm}):
Primeiro transformar a espessura da moeda para centímetros via fatores unitários:
t = 2,15\\ \mathrm{mm}\times\left(\dfrac{1\\ \mathrm{cm}}{10\\ \mathrm{mm}}\right)=0,215\\ \mathrm{cm}.
Agora o número de moedas na coluna é
n_{\text{altura}}=\dfrac{H}{t}=\dfrac{H}{0,215\\ \mathrm{cm}}.
Explicação didática: divide-se a altura total pela espessura de uma moeda; o método dos fatores unitários foi usado para expressar a espessura em \mathrm{cm} e assim cancelar a unidade \mathrm{cm} com H.

Passo 4

Número de moedas necessárias para atingir o seu peso W (em \mathrm{kg}):
Primeiro transformar a massa da moeda para quilogramas:
m = 11,34\\ \mathrm{g}\times\left(\dfrac{1\\ \mathrm{kg}}{1000\\ \mathrm{g}}\right)=0,01134\\ \mathrm{kg}.
Agora o número de moedas pelo critério do peso é
n_{\text{peso}}=\dfrac{W}{m}=\dfrac{W}{0,01134\\ \mathrm{kg}}.
Explicação didática: divide-se o seu peso pela massa de uma moeda para obter quantas moedas somam o seu peso; todos os passos mostrados por fatores unitários.

Passo 5

Valor monetário (em dólares) de cada proposta — fórmula geral:
  • Cada moeda vale \$0,50. Então
V_{\text{altura}}(\text{USD}) = 0,50\cdot n_{\text{altura}} = 0,50\cdot\dfrac{H}{0,215}.
V_{\text{peso}}(\text{USD}) = 0,50\cdot n_{\text{peso}} = 0,50\cdot\dfrac{W}{0,01134}.
Observação importante (comparação sem cotação): como ambas as propostas pagam com a mesma moeda e o mesmo valor por moeda, comparar qual paga MAIS é equivalente a comparar n_{\text{altura}} com n_{\text{peso}}. Ou seja, a proposta por peso é preferível se e somente se n_{\text{peso}}>n_{\text{altura}}.
Inequação que decide qual proposta rende mais moedas:
n_{\text{peso}}>n_{\text{altura}} \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{W}{0,01134}>\dfrac{H}{0,215}.
Multiplicando ambos os lados por 0,01134\cdot0,215 (positivo) obtemos uma forma simples:
W\cdot 0,215 > H\cdot 0,01134.
Isolando H, definimos a altura-limite:
H_{\text{limite}}=\dfrac{W\cdot 0,215}{0,01134}\quad\text{(em cm)}.
Se \;H<H_{\text{limite}}\; então a proposta por peso rende MAIS moedas; se \;H>H_{\text{limite}}\; então a proposta por coluna (altura) rende mais.
Comentário qualitativo: o fator \dfrac{0,215}{0,01134} é grande (~19), então H_{\text{limite}} costuma ser muito maior que a altura humana típica — portanto, na prática, a proposta por peso costuma render muito mais moedas (logo mais dinheiro).

Passo 6

Exemplo numérico completo (assumindo valores pessoais razoáveis para exemplificar o procedimento). Vou assumir (sem te perguntar):
  • Peso: W=68\\ \mathrm{kg} (dois algarismos significativos).
  • Altura: H=175\\ \mathrm{cm} (três algarismos significativos).
Passo a passo com fatores unitários e arredondamento por algarismos significativos:
  1. Converter espessura e massa (já feito, repetindo com valores numéricos):
t=2,15\\ \mathrm{mm}\times\left(\dfrac{1\\ \mathrm{cm}}{10\\ \mathrm{mm}}\right)=0,215\\ \mathrm{cm}.
m=11,34\\ \mathrm{g}\times\left(\dfrac{1\\ \mathrm{kg}}{1000\\ \mathrm{g}}\right)=0,01134\\ \mathrm{kg}.
  1. Número de moedas na coluna de altura:
n_{\text{altura}}=\dfrac{H}{t}=\dfrac{175\\ \mathrm{cm}}{0,215\\ \mathrm{cm}}=813{,}953\ldots
Regras de algarismos significativos: H tem 3 algarismos significativos, t tem 3; resultado deve ter 3 algarismos significativos. Portanto
n_{\text{altura}} \approx 814\\ \text{moedas} \quad(3\\ \text{sf}).
  1. Número de moedas pelo peso:
n_{\text{peso}}=\dfrac{W}{m}=\dfrac{68\\ \mathrm{kg}}{0,01134\\ \mathrm{kg}}=5992{,}888\ldots
Aqui W tem 2 algarismos significativos e m tem 4; o resultado deve ter 2 algarismos significativos. Portanto
n_{\text{peso}} \approx 6,0\times10^{3}\\ \text{moedas} \quad(2\\ \text{sf}).
  1. Valores em dólares (cada moeda vale \$0,50). Primeiro calcule com precisão e depois arredonde segundo regra de algarismos significativos (produto/divisão: número de sf = mínimo entre fatores):
V_{\text{altura}}(\text{USD})=0,50\times813{,}953\ldots=406{,}9767\ldots\\ \text{USD}.
Fatores significativos: n_{\text{altura}} (3 sf) e 0,50 (2 sf) → resultado com 2 sf.
V_{\text{altura}}(\text{USD})\approx 4,1\times10^{2}\\ \text{USD} \quad\text{(isto é, }\$410\text{; 2 sf)}.é
V_{\text{peso}}(\text{USD})=0,50\times5992{,}888\ldots=2996{,}444\ldots\\ \text{USD}.
Fatores significativos: n_{\text{peso}} (2 sf) e 0,50 (2 sf) → resultado com 2 sf.
V_{\text{peso}}(\text{USD})\approx 3,0\times10^{3}\\ \text{USD} \quad\text{(isto é, }\$3000\text{; 2 sf)}.é
Interpretação: com os valores assumidos, a proposta POR PESO entrega aproximadamente \$3000, enquanto a proposta POR ALTURA entrega cerca de \$410. Logo a proposta por peso rende notavelmente mais dinheiro.

Passo 7

Verificação se cada proposta paga a dívida de \mathrm{R}\$\;2500:
  • Para saber isso é necessário o câmbio \;e=\dfrac{\mathrm{R}\$}{\$1} (R$/USD), que não foi fornecido. Porém podemos calcular o valor mínimo de e necessário em cada proposta para cobrir a dívida: e_{\text{mín, altura}}=\dfrac{2500}{V_{\text{altura}}(\text{USD})}=\dfrac{2500}{406{,}9767\ldots}\approx 6{,}14\\ \dfrac{\mathrm{R}\$}{\$}.í(Arredondamento apropriado: V_{\text{altura}} apresentado com 2 sf → mantemos duas cifras relevantes em e_{\text{mín, altura}}í: 6{,}1\\ \mathrm{R}\$/\$.) e_{\text{mín, peso}}=\dfrac{2500}{V_{\text{peso}}(\text{USD})}=\dfrac{2500}{2996{,}444\ldots}\approx 0{,}83\\ \dfrac{\mathrm{R}\$}{\$}.í(Arredondamento com 2 sf → 0{,}83\\ \mathrm{R}\$/\$.)
Interpretação prática: a proposta por peso precisa de um câmbio absurdamente baixo ( \sim0{,}83\\ \mathrm{R}\$/\$) para NÃO cobrir a dívida; isso é impossível nas cotações normais. A proposta por altura só cobriria a dívida se a cotação do dólar estivesse muito alta ( \gtrsim6{,}1\\ \mathrm{R}\$/\$). Conclusão prática: com valores típicos de altura/peso, a proposta por peso cobre a dívida facilmente; a proposta por altura provavelmente não.

Resposta

V_{\text{altura}}\approx 4,1\times10^{2}\\ \text{USD} (aprox. \$410;\ 3\ moedas:814))
V_{\text{peso}}\approx 3,0\times10^{3}\\ \text{USD} (aprox. \$3000;\ 2\ moedas:6,0\times10^{3}))
A proposta por peso é mais favorável.

Exercícios relacionados