Jogando no bet365 do campeonato brasileiro, você fez uma dívida de
2500,00$ que agora devera honrar. Ao procurar um trabalho, o empregador lhe diz que pode pagar por seu trabalho em moedas de cinquenta centavos de dolar americano, lhe fazendo a seguinte proposta:
- Pagar fazendo uma coluna de moedas equivalente a sua altura.
- Pagar o equivalente de seu peso em moedas.
Você deve fazer as contas para saber qual das duas proposta é mais vantajosa, para liquidar sua divida. Expresse seu peso em quilogramas (kg) e sua altura em centímetros. Utilize em todos seus cálculos o método dos fatores unitários. Expresse seus resultados usando o número de algarismos significativos corretos.
- Mostre todos os fatores unitários necessários para obter a resposta correta.
- Qual proposta é mais favorável para pagar sua divida?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente o que comparar:
- Dívida:
. - Moeda de pagamento oferecida: moeda de cinquenta centavos de dólar americano (cada moeda vale
). - Duas propostas do empregador:
- Pagar fazendo uma coluna de moedas com altura igual à sua altura.
- Pagar o equivalente do seu peso em moedas (ou seja, tantas moedas que somem o seu peso corporal).
- Instrução do exercício: devo usar o método dos fatores unitários e mostrar todos os fatores unitários; apresentar respostas com algarismos significativos corretos; apresentar peso em quilogramas e altura em centímetros.
Informações que não foram fornecidas no enunciado (e que são necessárias para calcular números concretos):
- Seu peso numérico (vou chamar de
, em ). - Sua altura numérica (vou chamar de
, em ). - (Não é preciso saber a cotação do dólar para decidir qual proposta entrega MAIS DINHEIRO em número de moedas, porque ambas usam a mesma moeda; para comparar se o valor cobre a dívida em reais precisamos da cotação, que não foi dada.)
O que farei:
- Vou derivar fórmulas gerais (em função de
e ) usando o método de fatores unitários, mostrar como comparar as duas propostas sem precisar da cotação do dólar e fornecer um exemplo numérico completo (assumindo valores razoáveis para peso e altura) para ilustrar o cálculo passo a passo. - Assumo características físicas da moeda de meio-dólar (metadados de moeda): massa
e espessura . Essas são especificações típicas da moeda “half dollar” atual. Vou mostrar explicitamente os fatores de conversão usados.
Passo 2
Breve aula (rápida e prática) sobre o método dos fatores unitários:
- O método dos fatores unitários transforma unidades multiplicando por frações que valem 1 (por ex.
). Isso permite cancelar unidades até obter a unidade desejada. - Em multiplicações/divisões que envolvem medidas, o número de algarismos significativos do resultado deve ser o mínimo de algarismos significativos das grandezas usadas na operação.
- Vou sempre escrever cada conversão como um produto de fatores unitários, cancelando unidades passo a passo.
Constantes físicas (valores assumidos e suas unidades; todos os números matemáticos abaixo estarão em ambientes matemáticos):
- Valor de cada moeda:
(duas casas decimais, 2 algarismos significativos). - Espessura da moeda:
. - Massa da moeda:
.
Conversões básicas que vamos usar (fatores unitários):
Passo 3
Número de moedas necessárias para fazer uma coluna com a sua altura
(em
):
Primeiro transformar a espessura da moeda para centímetros via fatores unitários:
Agora o número de moedas na coluna é
Explicação didática: divide-se a altura total pela espessura de uma moeda; o método dos fatores unitários foi usado para expressar a espessura em
e assim cancelar a unidade
com
.
Passo 4
Número de moedas necessárias para atingir o seu peso
(em
):
Primeiro transformar a massa da moeda para quilogramas:
Agora o número de moedas pelo critério do peso é
Explicação didática: divide-se o seu peso pela massa de uma moeda para obter quantas moedas somam o seu peso; todos os passos mostrados por fatores unitários.
Passo 5
Valor monetário (em dólares) de cada proposta — fórmula geral:
- Cada moeda vale
. Então
Observação importante (comparação sem cotação): como ambas as propostas pagam com a mesma moeda e o mesmo valor por moeda, comparar qual paga MAIS é equivalente a comparar
com
. Ou seja, a proposta por peso é preferível se e somente se
.
Inequação que decide qual proposta rende mais moedas:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo) obtemos uma forma simples:
Isolando
, definimos a altura-limite:
Se
então a proposta por peso rende MAIS moedas; se
então a proposta por coluna (altura) rende mais.
Comentário qualitativo: o fator
é grande (~19), então
costuma ser muito maior que a altura humana típica — portanto, na prática, a proposta por peso costuma render muito mais moedas (logo mais dinheiro).
Passo 6
Exemplo numérico completo (assumindo valores pessoais razoáveis para exemplificar o procedimento). Vou assumir (sem te perguntar):
- Peso:
(dois algarismos significativos). - Altura:
(três algarismos significativos).
Passo a passo com fatores unitários e arredondamento por algarismos significativos:
- Converter espessura e massa (já feito, repetindo com valores numéricos):
- Número de moedas na coluna de altura:
Regras de algarismos significativos:
tem
algarismos significativos,
tem
; resultado deve ter
algarismos significativos. Portanto
- Número de moedas pelo peso:
Aqui
tem
algarismos significativos e
tem
; o resultado deve ter
algarismos significativos. Portanto
- Valores em dólares (cada moeda vale
). Primeiro calcule com precisão e depois arredonde segundo regra de algarismos significativos (produto/divisão: número de sf = mínimo entre fatores):
Fatores significativos:
(3 sf) e
(2 sf) → resultado com
sf.
Fatores significativos:
(2 sf) e
(2 sf) → resultado com
sf.
Interpretação: com os valores assumidos, a proposta POR PESO entrega aproximadamente
, enquanto a proposta POR ALTURA entrega cerca de
. Logo a proposta por peso rende notavelmente mais dinheiro.
Passo 7
Verificação se cada proposta paga a dívida de
:
- Para saber isso é necessário o câmbio
(R$/USD), que não foi fornecido. Porém podemos calcular o valor mínimo de necessário em cada proposta para cobrir a dívida: (Arredondamento apropriado: apresentado com 2 sf → mantemos duas cifras relevantes em : .) (Arredondamento com 2 sf → .)
Interpretação prática: a proposta por peso precisa de um câmbio absurdamente baixo (
) para NÃO cobrir a dívida; isso é impossível nas cotações normais. A proposta por altura só cobriria a dívida se a cotação do dólar estivesse muito alta (
). Conclusão prática: com valores típicos de altura/peso, a proposta por peso cobre a dívida facilmente; a proposta por altura provavelmente não.
Resposta
A proposta por peso é mais favorável.