Jogando-se uma moeda honesta cinco vezes e observando a face voltada para cima. Há interesse em calcular a probabilidade de ocorrência de uma, duas, …, cinco caras.
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê?
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de obter ao menos quatro caras.
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de obter ao menos quatro caras. (R.: 0,1875 ).
d) Qual é o valor esperado do número de caras? A variável aleatória pode assumir tal valor? (R.: 2,5; não) Adaptado de DOWNING, D. e CLARK, J… Estatística Aplicada, São Paulo: Saraiva, 2000, página 139.

Passo 1

O enunciado diz que jogamos uma moeda honesta (p=0,5) cinco vezes de forma independente e nos interessa o número de caras obtidas. O conteúdo é variável aleatória discreta em ensaios de Bernoulli repetidos, ou seja, distribuição binomial com parâmetros n=5 e p=0,5.

Passo 2

Para calcular a probabilidade de obter ao menos quatro caras, escrevemos a soma das probabilidades de X=4 e X=5, onde X∼Binomial(n=5,p=0,5). A expressão fica:
P(X>=4)=sumk=4^5binom5k(0,5)^k(0,5)^5-k

Passo 3

Agora basta calcular cada termo:
P(X=4)=binom54(0,5)^4(0,5)^1=5cdot116cdot12=532
P(X=5)=binom55(0,5)^5(0,5)^0=1cdot132cdot1=132
Somando,
P(X>=4)=532+132=632=0,1875

Passo 4

Para o valor esperado de X em uma binomial vale E[X]=n·p. Aqui temos
E[X]=5times0,5=2,5
Como X só assume valores inteiros de 0 a 5, ela não pode assumir exatamente 2,5.

Resposta

a) Modelo: distribuição binomial com n=5 e p=0,5, pois são ensaios de Bernoulli independentes com só dois resultados e número fixo de ensaios.
b) P(X>=4)=sumk=4^5binom5k(0,5)^k(0,5)^5-k
c) P(X>=4)=0,1875
d) E[X]=2,5, valor não atingível por X (X é inteiro).

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