Suponha que você vai fazer uma prova de TGA com 10 questões do tipo verdadeiro-falso. Você nada sabe sobre o assunto e vai responder as questões por adivinhação.
a) Qual é o modelo probabilístico mais adequado para calcular as probabilidades de acertar um número X de questões dentre as 10 ? Por quê?
b) Esquematize a expressão para cálculo dã probabilidade de acertar pelo menos 8 questões.
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de acertar pelo menos 8 questões. (R.: 0,05468 )
Adaptado de DOWNING, D. e CLARK, J… Estatística Aplicada, São Paulo: Saraiva, 2000, página 139.

Passo 1

O enunciado descreve um aluno chutando 10 questões de verdadeiro-falso sem conhecimento prévio. Vamos usar conceitos de variáveis aleatórias discretas e ensaios de Bernoulli independentes.

Passo 2

Cada questão é um ensaio de Bernoulli com probabilidade de sucesso (acerto) igual a p=0.5, e há n=10 ensaios independentes. Nessas condições, o número de acertos X segue uma distribuição binomial.

Passo 3

A probabilidade de acertar pelo menos 8 questões é a soma das probabilidades de obter k=8,9,10 sucessos. Assim, temos:
P(X>= 8)=sumk=8^10 binom10k ,(0.5)^k,(0.5)^10-k
Agora calculamos os coeficientes binomiais e usamos (0.5)^k(0.5)^10-k=(0.5)^10:
binom108=45, binom109=10, binom1010=1
P(X>= 8)=(45+10+1)times(0.5)^10=561024approx0.0546875approx0.05468

Resposta

a) O modelo é a distribuição binomial com parâmetros n=10 e p=0.5. b) P(X>=8)=sumk=8^10binom10k(0.5)^k(0.5)^10-k c) P(X>=8)approx0,05468

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