Suponha que uma caixa tenha 6 bolas brancas e 6 bolas pretas. Se as bolas são sorteadas uma a uma, determine:
A probabilidade que dentre as primeiras 6 bolas sorteadas eu tenha 3 bolas brancas e 3 bolas pretas.

Passo 1

O enunciado diz que há uma urna com 6 bolas brancas e 6 bolas pretas (total de 12 bolas) e que sorteamos 6 delas sem reposição. Queremos a probabilidade de obter exatamente 3 brancas e 3 pretas nas 6 primeiras bolas. O conteúdo aqui é a distribuição hipergeométrica, que conta combinações sem reposição.

Passo 2

O número total de maneiras de escolher 6 bolas dentre as 12 disponíveis é dado por
\binom{12}{6}.

Passo 3

O número de maneiras favoráveis — isto é, escolher 3 bolas brancas (de 6) e 3 bolas pretas (de 6) — é
\binom{6}{3}\times \binom{6}{3}.

Passo 4

A probabilidade pedida é a razão entre as escolhas favoráveis e o total de escolhas:
P = \frac{\displaystyle \binom{6}{3}\,\binom{6}{3}}{\displaystyle \binom{12}{6}}.
Calculando os valores: \binom{6}{3}=20 e \binom{12}{6}=924, logo
P = \frac{20 \times 20}{924} = \frac{400}{924} = \frac{100}{231}\approx0,4329.

Resposta

\displaystyle \frac{100}{231}\approx0,4329

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