Sejam X e Y variáveis aleatórias INDEPENDENTES com distribuição uniforme em 0,1, ldots, N. Determine:
a. P(X >= Y)
b. P(X=Y)
c. A distribuição de min (X, Y)
d. A distribuição de max (X, Y)
e. A distribuição de |Y-X|

Passo 1

O exercício pede para calcular várias probabilidades envolvendo duas variáveis discreta independentes e uniformes em 0,1,dots,N. Vamos usar o fato de que, por independência, cada par (X,Y)=(i,j) tem probabilidade 1/(N+1)^2 e propriedades de simetria e contagem em somas duplas.

Passo 2

Como X e Y são independentes e uniformes, temos
P(X=Y)=sumk=0^NP(X=k,Y=k)=sumk=0^N1(N+1)^2=N+1(N+1)^2=1N+1

Passo 3

Para calcular P(X>= Y), note que pela simetria P(X>Y)=P(X e
1 = P(X>Y)+P(XY)+P(X=Y)
Logo
P(X>Y)=1-P(X=Y)2=1-tfrac1N+12=N2(N+1)
e assim
P(X>= Y)=P(X>Y)+P(X=Y)=N2(N+1)+1N+1=N+22(N+1)

Passo 4

Para a distribuição de min(X,Y), usamos
P(min(X,Y)=k)=P(um dos dois é k e o outro >= k)-P(X=k,Y=k), é
ou diretamente
P(min(X,Y)=k)=21N+1N-k+1N+1-1(N+1)^2=2(N-k+1)-1(N+1)^2=2(N-k)+1(N+1)^2

Passo 5

Para a distribuição de max(X,Y), por contagem análoga,
P(max(X,Y)=m)=21N+1m+1N+1-1(N+1)^2=2m+1(N+1)^2

Passo 6

Para a distribuição de |X-Y|, note que para d>0
P(|X-Y|=d)=P(X-Y=d)+P(Y-X=d)=2sumk=0^N-d1(N+1)^2=2(N+1-d)(N+1)^2,
e para d=0 já temos P(|X-Y|=0)=P(X=Y)=1/(N+1).

Resposta

a. P(X>= Y)=N+22(N+1)
b. P(X=Y)=1N+1
c. Para k=0,1,dots,N, P(min(X,Y)=k)=2(N-k)+1(N+1)^2
d. Para m=0,1,dots,N, P(max(X,Y)=m)=2m+1(N+1)^2
e. Para d=0, P(|X-Y|=0)=1N+1; para d=1,2,dots,N, P(|X-Y|=d)=2(N+1-d)(N+1)^2.

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