Um jogo educativo possui 16 peças nos formatos: círculo, triângulo, quadrado e estrela, e cada formato é apresentado em 4 cores: amarelo, branco, laranja e verde. Dois jogadores distribuem entre si quantidades iguais dessas peças, de forma aleatória. O conjunto de 8 peças que cada jogador recebe é chamado de coleção.
Qual é a probabilidade de que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um jogo educativo com 16 peças, cada uma em 4 formatos diferentes (círculo, triângulo, quadrado e estrela) e 4 cores (amarelo, branco, laranja e verde). Dois jogadores pegam, de forma aleatória, 8 peças cada. Queremos descobrir qual a chance (probabilidade) de que ambos os jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória e probabilidade, especificamente o cálculo de combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas peças são amarelas no total. Como temos 4 formatos e 4 cores, e cada combinação é única, temos:
4 formatos times 1 cor amarela = 4 peças amarelas ç
Então, temos 4 peças amarelas entre as 16 totais.

Passo 3

Agora, precisamos calcular de quantas maneiras podemos distribuir essas peças amarelas entre os dois jogadores de forma que ambos recebam a mesma quantidade.
Como o total de peças amarelas é 4, a única forma de ambos receberem a mesma quantidade é cada um pegar 2 peças amarelas.
Vamos calcular:
  1. Escolher 2 peças amarelas para o primeiro jogador:
    binom42 = 6 maneiras
  2. As restantes 2 peças amarelas vão automaticamente para o segundo jogador.
Agora, além das peças amarelas, precisamos distribuir as demais peças (12 não amarelas) entre os jogadores. Cada jogador já pegou 2 amarelas, então cada um precisa pegar mais 6 peças dentre as 12 não amarelas.
A quantidade de maneiras de fazer isso é:
binom126 = 924 maneiras

Passo 4

Para achar a probabilidade desejada, vamos dividir o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras possíveis de distribuir as peças.
  1. Número de maneiras favoráveis (ambos recebem 2 amarelas):
    binom42 times binom126 = 6 times 924 = 5.544 maneiras
  2. Número total de maneiras de distribuir 8 peças para o primeiro jogador (independente das cores):
    binom168 = 12.870 maneiras

Passo 5

Agora, calculamos a probabilidade dividindo as maneiras favoráveis pelas maneiras totais:
Probabilidade = 5.54412.870 approx 0,430 ou 43%

Resposta

A probabilidade de que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas é de aproximadamente 43 %.

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