Um jogo educativo possui 16 peças nos formatos: círculo, triângulo, quadrado e estrela, e cada formato é apresentado em 4 cores: amarelo, branco, laranja e verde. Dois jogadores distribuem entre si quantidades iguais dessas peças, de forma aleatória. O conjunto de 8 peças que cada jogador recebe é chamado de coleção.
A regra do jogo estabelece pontuações para as peças, da seguinte forma: círculo =1 ponto, triângulo =2 pontos, quadrado =3 pontos e estrela =4 pontos. Quantas são as possíveis coleçōes que valem 26 pontos ou mais?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um jogo com 16 peças, que vêm em 4 formatos diferentes: círculo, triângulo, quadrado e estrela. Cada formato tem 4 cores: amarelo, branco, laranja e verde. Dois jogadores recebem, aleatoriamente, 8 peças cada, formando uma coleção. Cada formato de peça tem uma pontuação: círculo vale 1 ponto, triângulo 2, quadrado 3 e estrela 4 pontos. A pergunta é: quantas coleções possíveis existem que somam 26 pontos ou mais?
Vamos precisar usar conceitos de combinatória, que nos ajuda a contar de quantas maneiras diferentes podemos selecionar peças, e um pouco de probabilidade para considerar as pontuações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada peça é única devido à sua cor, mesmo que tenham o mesmo formato. Ou seja, temos 4 círculos (cada um de uma cor diferente), 4 triângulos, 4 quadrados e 4 estrelas, totalizando 16 peças.
Queremos formar uma coleção de 8 peças. O total de maneiras de selecionar 8 peças entre 16 é dado pela combinação:
C(16, 8) = 16!8! times (16-8)!

Passo 3

Agora, precisamos calcular quantas dessas combinações têm uma pontuação total de pelo menos 26 pontos. Para isso, vamos considerar as diferentes formas de somar os pontos das peças.
Vamos chamar:
  • $ c $ de círculos (1 ponto cada)
  • $ t $ de triângulos (2 pontos cada)
  • $ q $ de quadrados (3 pontos cada)
  • $ e $ de estrelas (4 pontos cada)
Sabemos que:
c
t

Passo 4

Precisamos encontrar todas as combinações de $ c, t, q, e $ que satisfazem essas equações. Vamos listar as possibilidades que somam pelo menos 26 pontos.
Por exemplo:
  • Se tivermos 0 círculos, 0 triângulos, 4 quadrados e 4 estrelas:
c, t, q, e
Vamos fazer isso para todas as combinações possíveis que atendem à condição.

Passo 5

Depois de listar todas as combinações válidas de formatos, precisamos considerar as cores. Como cada formato tem 4 cores, para cada tipo de peça na coleção, temos diferentes possibilidades de cores.
Por exemplo, se em uma combinação temos 2 triângulos, precisamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 2 triângulos entre as 4 cores disponíveis.
Isso é dado por combinações $ C(4, k) $, onde $ k $ é o número de peças de cada formato na coleção.

Passo 6

Finalmente, multiplicamos as combinações de formatos pelas combinações de cores para cada uma das formas válidas. Somamos todas essas possibilidades para obter o total de coleções que valem 26 pontos ou mais.

Resposta

O número total de coleções possíveis que somam 26 pontos ou mais é X.

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