Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue,
.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a “equivalência”
e pede que eu encontre a implicação que não vale. Vou listar claramente o que isso significa:
- A afirmativa inteira diz que duas coisas são equivalentes:
- Se
então . - Se
então .
- Se
- Preciso testar cada uma dessas implicações e, se alguma for falsa, fornecer um contraexemplo explícito (valores reais de
e que invalidem a implicação).
Passo 2
Teste da implicação direta:
.
- Lembrete rápido (fórmula/conceito): multiplicar ambos os lados de uma igualdade por um mesmo número preserva a igualdade. Em particular, se
então multiplicando por ou obtemos . - Aplicação: se
então claramente - Conclusão: a implicação
é verdadeira para todos .
Passo 3
Teste da implicação inversa:
.
- Ideia: ao elevar ao quadrado perdemos informação sobre o sinal. O quadrado de um número positivo e de seu negativo dá o mesmo resultado. Portanto é plausível que a implicação seja falsa.
- Para invalidar uma implicação basta um contraexemplo explícito: escolher
tais que mas . - Um contraexemplo simples: tome
e . Então logo . No entanto . - Conclusão: a implicação
é falsa; o contraexemplo mostra isso explicitamente.
Passo 4
Explicação algébrica do que realmente vale e por que a implicação falha.
- Começando de
, subtraindo de ambos os lados: - Usando a fatoração de diferença de quadrados (fórmula importante:
; aqui , ): - Uma propriedade básica: um produto de dois números reais é zero exatamente quando pelo menos um deles é zero. Assim
- Ou seja,
- Isso explica por que a tentativa de “tirar raiz” e dizer simplesmente
está errada: ao extrair raízes de surge a ambiguidade do sinal, portanto a solução geral é .
Passo 5
Como responder numa prova (passo-a-passo que você pode decorar):
- Primeiro mostre que a implicação
é verdadeira (uma linha: se então ). - Depois diga que a implicação contrária é falsa e dê um contraexemplo explícito, por exemplo
, mostrando que mas . - Finalmente escreva a correção: a equivalência correta é
. Isso completa a justificativa.
Resposta
A implicação falsa é
. Contraexemplo:
, pois
mas
. Correção:
.