Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue, a, b, x, y \in \mathbb{R}.
(b) a^{2}=b^{2} \Longleftrightarrow a=b.

Passo 1

O enunciado dá a “equivalência” \;a^{2}=b^{2}\Longleftrightarrow a=b\; e pede que eu encontre a implicação que não vale. Vou listar claramente o que isso significa:
  • A afirmativa inteira diz que duas coisas são equivalentes:
    1. Se a=b então a^{2}=b^{2}.
    2. Se a^{2}=b^{2} então a=b.
  • Preciso testar cada uma dessas implicações e, se alguma for falsa, fornecer um contraexemplo explícito (valores reais de a e b que invalidem a implicação).

Passo 2

Teste da implicação direta: a=b \Rightarrow a^{2}=b^{2}.
  • Lembrete rápido (fórmula/conceito): multiplicar ambos os lados de uma igualdade por um mesmo número preserva a igualdade. Em particular, se a=b então multiplicando por a ou b obtemos a\cdot a = b\cdot b.
  • Aplicação: se a=b então claramente a^{2}=a\cdot a=b\cdot b=b^{2}.
  • Conclusão: a implicação a=b \Rightarrow a^{2}=b^{2} é verdadeira para todos a,b\in\mathbb{R}.

Passo 3

Teste da implicação inversa: a^{2}=b^{2} \Rightarrow a=b.
  • Ideia: ao elevar ao quadrado perdemos informação sobre o sinal. O quadrado de um número positivo e de seu negativo dá o mesmo resultado. Portanto é plausível que a implicação seja falsa.
  • Para invalidar uma implicação basta um contraexemplo explícito: escolher a,b\in\mathbb{R} tais que a^{2}=b^{2} mas a\neq b.
  • Um contraexemplo simples: tome a=1 e b=-1. Então a^{2}=1^{2}=1 \qquad\text{e}\qquad b^{2}=(-1)^{2}=1,logo a^{2}=b^{2}. No entanto a=1\neq -1=b.
  • Conclusão: a implicação a^{2}=b^{2} \Rightarrow a=b é falsa; o contraexemplo a=1,\;b=-1 mostra isso explicitamente.

Passo 4

Explicação algébrica do que realmente vale e por que a implicação falha.
  • Começando de \;a^{2}=b^{2}\;, subtraindo b^{2} de ambos os lados: a^{2}-b^{2}=0.
  • Usando a fatoração de diferença de quadrados (fórmula importante: x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y); aqui x=a, y=b): (a-b)(a+b)=0.
  • Uma propriedade básica: um produto de dois números reais é zero exatamente quando pelo menos um deles é zero. Assim (a-b)(a+b)=0 \quad\Longrightarrow\quad a-b=0 \quad\text{ou}\quad a+b=0.
  • Ou seja, a^{2}=b^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad a=b \quad\text{ou}\quad a=-b.
  • Isso explica por que a tentativa de “tirar raiz” e dizer simplesmente a=b está errada: ao extrair raízes de \;a^{2}=b^{2}\; surge a ambiguidade do sinal, portanto a solução geral é a=\pm b.

Passo 5

Como responder numa prova (passo-a-passo que você pode decorar):
  • Primeiro mostre que a implicação a=b\Rightarrow a^{2}=b^{2} é verdadeira (uma linha: se a=b então a^{2}=b^{2}).
  • Depois diga que a implicação contrária é falsa e dê um contraexemplo explícito, por exemplo a=1,\\ b=-1, mostrando que 1^{2}=(-1)^{2} mas 1\neq -1.
  • Finalmente escreva a correção: a equivalência correta é \;a^{2}=b^{2}\iff a=b\\ \text{ou}\\ a=-b\;. Isso completa a justificativa.

Resposta

A implicação falsa é a^{2}=b^{2}\Rightarrow a=b. Contraexemplo: a=1,\\ b=-1, pois 1^{2}=(-1)^{2} mas 1\neq-1. Correção: a^{2}=b^{2}\iff a=b\\ \text{ou}\\ a=-b.

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