Questão 2 Considere a função
.
(a) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto (
).
(b) Determine a derivada direcional de
no ponto (
) na direção do vetor unitário
.
(c) Dentre todas as infinitas derivadas direcionais de
no ponto (
) determine a maior possível.
(a) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de
(b) Determine a derivada direcional de
(c) Dentre todas as infinitas derivadas direcionais de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas no ponto
:
- a equação do plano tangente ao gráfico de
; - a derivada direcional de
na direção do vetor unitário ; - a maior possível entre todas as derivadas direcionais naquele ponto.
Para isso precisamos calcular as derivadas parciais de, avaliar o gradiente em e usar as fórmulas de plano tangente e derivada direcional.
Passo 2
Vamos achar as derivadas parciais de
. Como
pelo uso da regra da cadeia temos
Passo 3
No ponto
temos
portanto
. Logo
e também
A equação do plano tangente é
isto é,
Passo 4
A derivada direcional de
em
na direção de
é dada por
Passo 5
A maior derivada direcional em
é o comprimento do gradiente em
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)