Questão 2 Considere a função f(x, y)=\operatorname{sen}\left(x+y^{2}\right).
(a) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 0, \sqrt{\frac{\pi}{2}} ).
(b) Determine a derivada direcional de f no ponto ( 0, \sqrt{\frac{\pi}{2}} ) na direção do vetor unitário \vec{u}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right).
(c) Dentre todas as infinitas derivadas direcionais de f no ponto ( 0, \sqrt{\frac{\pi}{2}} ) determine a maior possível.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\operatorname{sen}\bigl(x+y^2\bigr)
e pede três coisas no ponto \bigl(0,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr):
  1. a equação do plano tangente ao gráfico de f;
  2. a derivada direcional de f na direção do vetor unitário \vec{u}=\bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2\bigr);
  3. a maior possível entre todas as derivadas direcionais naquele ponto.
    Para isso precisamos calcular as derivadas parciais de f, avaliar o gradiente em \bigl(0,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr) e usar as fórmulas de plano tangente e derivada direcional.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de f. Como
f(x,y)=\operatorname{sen}\bigl(x+y^2\bigr),
pelo uso da regra da cadeia temos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\cos\bigl(x+y^2\bigr)\cdot1 =\cos\bigl(x+y^2\bigr),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\cos\bigl(x+y^2\bigr)\cdot 2y =2y\,\cos\bigl(x+y^2\bigr).

Passo 3

No ponto \bigl(0,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr) temos
x+y^2=0+\Bigl(\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\Bigr)^2 =\tfrac{\pi}{2},
portanto \cos\bigl(x+y^2\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(0,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr)=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(0,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr)=0,
e também
f\bigl(0,\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\bigr) =\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
A equação do plano tangente é
z - f(P) =\frac{\partial f}{\partial x}(P)\,(x-0) +\frac{\partial f}{\partial y}(P)\,(y-\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}),
isto é,
z-1=0\quad\Longrightarrow\quad z=1.

Passo 4

A derivada direcional de f em P na direção de \vec{u} é dada por
D_{\vec u}f(P) =\nabla f(P)\cdot\vec u =\bigl(0,0\bigr)\cdot\bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2\bigr) =0.

Passo 5

A maior derivada direcional em P é o comprimento do gradiente em P:
\max_{\|\vec v\|=1}D_{\vec v}f(P) =\|\nabla f(P)\| =\sqrt{0^2+0^2} =0.

Resposta

(a) z=1
(b) 0
(c) 0

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