Em um jogo, um personagem coleta moedas representadas em base 4. Se ele possui 123_{4} moedas, quantas são em base 10 ?

Passo 1

O enunciado dá que o personagem possui 123_{4} moedas (isto é, o número 123 escrito na base 4). A pergunta é: quantas moedas isso representa em base 10?
Informações relevantes: o número está em base 4 e os dígitos, da esquerda para a direita, são 1, 2 e 3.

Passo 2

Explicação didática do método (anatomia da notação posicional): em uma base b, cada dígito multiplica uma potência de b dependendo da sua posição. Se temos um número
d_n d_{n-1}\dots d_1 d_0 \text{ (base } b)
então ele vale
\sum_{k=0}^{n} d_k b^k.
Aqui d_k é o dígito na posição k contando da direita (posição 0 é a unidade), e b é a base. Observação importante: cada dígito d_k deve satisfazer 0 \le d_k \le b-1.
Exemplo pequeno para fixar: 101_2 = 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 4+0+1 = 5.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso número 123_{4}. Identificamos as posições (da direita para a esquerda): o dígito 3 está em 4^0 (unidades), o 2 está em 4^1 (quatro) e o 1 está em 4^2 (dezesseis). Assim
123_{4} = 1\cdot 4^{2} + 2\cdot 4^{1} + 3\cdot 4^{0}.

Passo 4

Calculando as potências e multiplicações passo a passo:
4^{2}=16,\qquad 4^{1}=4,\qquad 4^{0}=1.
Logo
1\cdot 16 = 16,\qquad 2\cdot 4 = 8,\qquad 3\cdot 1 = 3.

Passo 5

Somando as contribuições:
16 + 8 = 24,
24 + 3 = 27.
Portanto o valor em base decimal (base 10) é 27. Você conferiu que todos os dígitos ( 1,2,3) são menores que 4, então a conversão está válida.

Resposta

27

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