O composto A pode formar o isômero C e o dímero B simultaneamente, em fase líquida, a uma temperatura T_{1}, conforme mostrado a seguir:
i. \quad 2 A \rightarrow B ;\left(-r_{A}\right)=0,015 C_{A}^{2}(\mathrm{~mol} / \mathrm{L} . \mathrm{s})
ii. \quad A \rightarrow C ;\left(-r_{A}\right)=0,018 C_{A}(\mathrm{~mol} / \mathrm{L} . \mathrm{s})
Deseja-se converter 88 \% do composto A alimentando a um CSTR isotérmico com alimentação a 8,5 \mathrm{~L} / \mathrm{s} contendo 9 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de A . Determine o volume do reator operando a \mathrm{T}_{1} e os rendimentos de B e C. (Resposta: V=1823 \mathrm{~L} ; Y_{B}=0,24 ; Y_{C}=0,53 ).

Passo 1

O exercício pede duas coisas:
  1. Determinar o volume do CSTR isotérmico, operando à temperatura T_{1}, que converta 88\% do composto A quando a alimentação é de q=8{,}5\\ \mathrm{L/s} com concentração inicial C_{A0}=9\\ \mathrm{mol/L}.
  2. Determinar os rendimentos de B e C (ou seja, fração dos mols de A consumidos que saem como B e como C).
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
\text{i.}\quad 2A \rightarrow B,\quad (-r_A)_{1}=0{,}015\,C_A^{2}\\ \mathrm{(mol/L\cdot s)}
\text{ii.}\quad A \rightarrow C,\quad (-r_A)_{2}=0{,}018\,C_A\\ \mathrm{(mol/L\cdot s)}
Alimentação: q=8{,}5\\ \mathrm{L/s}, C_{A0}=9\\ \mathrm{mol/L}. Conversão desejada: X=0{,}88.

Passo 2

Montar o balanço de massa de A no CSTR em estado estacionário. Vou explicar a fórmula passo a passo:
  • qC_{A0} é o fluxo molar de A que entra (mol/s).
  • qC_{A} é o fluxo molar de A que sai (mol/s), onde C_A é a concentração no reator.
  • A taxa total de consumo volumétrica de A (mol/L·s) é a soma das contribuições das duas reações: (-r_A) = 0{,}015\,C_A^2 + 0{,}018\,C_A.
  • No balanço ao estado estacionário: fluxo molar que entra = fluxo molar que sai + consumo total dentro do reator:
q C_{A0} = q C_A + V\big(0{,}015\,C_A^{2} + 0{,}018\,C_A\big).
Aqui V é o volume do reator que queremos determinar. Todas as variáveis: q (L/s), C_{A0} e C_A (mol/L), V (L), e as constantes com unidades compatíveis.

Passo 3

Calcular a concentração C_A no reator a partir da conversão pedida. Definição de conversão:
X=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}.
Isolando C_A:
C_A = C_{A0}(1-X).
Substituindo C_{A0}=9\\ \mathrm{mol/L} e X=0{,}88:
C_A = 9(1-0{,}88)=9(0{,}12)=1{,}08\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 4

Usar a equação do balanço do Passo 2 para achar V. Reescrevendo:
V=\frac{q(C_{A0}-C_A)}{0{,}015\,C_A^{2}+0{,}018\,C_A}.
Agora substituímos os números:
  • q(C_{A0}-C_A)=8{,}5\cdot(9-1{,}08)=8{,}5\cdot7{,}92=67{,}32\\ \mathrm{mol/s}.
  • Calcular 0{,}015\,C_A^{2}+0{,}018\,C_A com C_A=1{,}08:
C_A^{2}=1{,}08^{2}=1{,}1664,
0{,}015\cdot1{,}1664=0{,}017496,
0{,}018\cdot1{,}08=0{,}01944,
\text{denominador}=0{,}017496+0{,}01944=0{,}036936\\ \mathrm{(mol/L\cdot s)}.
Portanto
V=\frac{67{,}32}{0{,}036936}\approx1822{,}6\\ \mathrm{L}.
Arredondando de forma razoável: V\approx1823\\ \mathrm{L}.

Passo 5

Agora vamos achar os rendimentos. Primeiro, relacionar as velocidades de reação com a formação de produtos, explicando a estequiometria:
  • Para a reação 1: 2A\rightarrow B. Se chamarmos r_1 a velocidade da reação 1 (mol/L·s) de modo que a velocidade de consumo de A por essa reação seja 2r_1. O enunciado nos deu (-r_A)_1=0{,}015\,C_A^2=2r_1. Logo
r_1=\tfrac{1}{2}\cdot0{,}015\,C_A^2=0{,}0075\,C_A^2.
A formação de B ocorre na razão +1 por r_1, então a taxa volumétrica de formação de B é
r_B = r_1 = 0{,}0075\,C_A^2.
  • Para a reação 2: A\rightarrow C. A taxa volumétrica de consumo de A por essa via é (-r_A)_2=0{,}018\,C_A, e como esta reação tem estequiometria 1:1, a taxa de formação de C é
r_C = 0{,}018\,C_A.

Passo 6

Calcular numericamente r_B e r_C usando C_A=1{,}08:
r_B = 0{,}0075\cdot 1{,}08^{2}=0{,}0075\cdot1{,}1664=0{,}008748\\ \mathrm{mol/(L\cdot s)}.
r_C = 0{,}018\cdot1{,}08=0{,}01944\\ \mathrm{mol/(L\cdot s)}.
As vazões molares de produtos que saem do reator (assumindo que não há produtos na alimentação) são:
F_B = V r_B,\qquad F_C = V r_C.
Usando V\approx1822{,}6\\ \mathrm{L}:
F_B \approx 1822{,}6\cdot0{,}008748\approx15{,}944\\ \mathrm{mol/s},
F_C \approx 1822{,}6\cdot0{,}01944\approx35{,}431\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 7

Definir rendimento utilizado aqui (o enunciado pede "rendimentos de B e C") — vou usar a definição usual para problemas de reatores: rendimento do produto i é a fração dos mols de A consumidos que aparecem como i. Ou seja,
Y_i=\frac{F_i}{F_{A0}-F_A},
onde F_{A0}=qC_{A0} e F_A=qC_A. Calculemos o denominador (fluxo de A consumido):
F_{A0}-F_A = q(C_{A0}-C_A)=8{,}5\cdot7{,}92=67{,}32\\ \mathrm{mol/s}.
Agora os rendimentos:
Y_B=\frac{F_B}{67{,}32}=\frac{15{,}944}{67{,}32}\approx0{,}2369\approx0{,}24,
Y_C=\frac{F_C}{67{,}32}=\frac{35{,}431}{67{,}32}\approx0{,}5266\approx0{,}53.
Note que Y_B+Y_C\approx0{,}7635<1 porque parte do A consumido pode ter ido para outras perdas (por exemplo formação de subprodutos não considerados) ou arredondamentos; neste problema específico, a soma menor que 1 indica que parte do A consumido não aparece como B ou C em termos molares diretos — porém aqui a razão é que a reação de dimerização consome 2 mol de A para dar 1 mol de B, logo nem todo consumo de A gera um produto na mesma razão mol/mol; por isso definimos rendimento em relação aos mols de A consumidos e obtivemos os valores acima.

Resposta

V=1823\\ \mathrm{L}
Y_{B}=0,24
Y_{C}=0,53

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