Jonathan tomou emprestado \ 10.000 a uma taxa de juros compostos de6 % ao ano. Ele concordou em quitar o empréstimo com cinco pagamentos anuais iguais deé$2.374$ ao final dos anos 1 a 5. Qual o valor correspondente aos juros e qual o valor correspondente ao principal em cada pagamento anual?
\begin{aligned} I_{1} & =600,00 \\\ P_{1} & =10.000,00 \\\ I_{2} & =493,5624 \\\ P_{2} & =8.226,04 \\\ I_{3} & =380,7305 \\\ P_{3} & =6.345,6424 \\\ I_{4} & =261,1451 \\\ P_{4} & =4.352,4185 \\\ I_{5} & =134,3762 \\\ P_{5} & =2.239,6036 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado trata de um empréstimo de \$10.000 a juros compostos de 6\% ao ano, quitado por 5 pagamentos anuais iguais de \$2.374 ao final de cada ano. O conteúdo é amortização de um empréstimo com prestações uniformes, em que devemos calcular, para cada ano n, a parte referente a juros e a parte referente à amortização do principal.

Passo 2

Em qualquer período n valem as fórmulas seguintes:
J_n = Sal_{n-1}\cdot i, \quad Q_n = A - J_n, \quad Sal_n = Sal_{n-1}(1+i) - A
em que \;i = 0,06 é a taxa anual, \;A = 2.374 é o valor da prestação, \;Sal_{n-1} é o saldo devedor no início do período n, \;J_n é o juro do período n, \;Q_n é a amortização (parte de principal) no período n.

Passo 3

Período 1: \;Sal_0 = 10.000 \;J_1 = 10.000 \times 0,06 = 600,00 \;Q_1 = 2.374 - 600,00 = 1.774,00 \;Sal_1 = 10.000\times1,06 - 2.374 = 8.226,04

Passo 4

Período 2: \;Sal_1 = 8.226,04 \;J_2 = 8.226,04 \times 0,06 = 493,56 \;Q_2 = 2.374 - 493,56 = 1.880,44 \;Sal_2 = 8.226,04\times1,06 - 2.374 = 6.345,64

Passo 5

Período 3: \;Sal_2 = 6.345,64 \;J_3 = 6.345,64 \times 0,06 = 380,74 \;Q_3 = 2.374 - 380,74 = 1.993,26 \;Sal_3 = 6.345,64\times1,06 - 2.374 = 4.352,42

Passo 6

Período 4: \;Sal_3 = 4.352,42 \;J_4 = 4.352,42 \times 0,06 = 261,15 \;Q_4 = 2.374 - 261,15 = 2.112,85 \;Sal_4 = 4.352,42\times1,06 - 2.374 = 2.239,60

Passo 7

Período 5: \;Sal_4 = 2.239,60 \;J_5 = 2.239,60 \times 0,06 = 134,38 \;Q_5 = 2.374 - 134,38 = 2.239,62 \;Sal_5 = 2.239,60\times1,06 - 2.374 = 0

Resposta

Ano 1: juros J_1 = 600,00, principal Q_1 = 1.774,00
Ano 2: juros J_2 = 493,56, principal Q_2 = 1.880,44
Ano 3: juros J_3 = 380,74, principal Q_3 = 1.993,26
Ano 4: juros J_4 = 261,15, principal Q_4 = 2.112,85
Ano 5: juros J_5 = 134,38, principal Q_5 = 2.239,62

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